Yon den ausgezeichneten Lösungen. § 6. 
81 
12 -Vl1 V f 
e 
u n 
. %7tX . 7tV 
sin sin — 
a a 
e 
u 3l 
. 3nx . 7t y 
sin sm — 
a a 
23 -^11 V V 
. Stix . 2Tty 
sin sin 
a a 
. 47ra? . «w 
sin sin — 
a a 
Bildet man nun ein Product, worin ji^-mal der Factor 
(aj -j- ß 1 i) mit beliebiger Combination der Vorzeichen, ebenso 
jr 2 -mal der Factor (a 2 + ß 2 i) u. s. w., sowie Xj-inal q^ u. s. w. 
vorkoinmt, und bezeichnet man dieses complexe Product 
mit m h -j- n h i, so ist 
r = (m h -f- n h %) (m h — n h i) = m,ß -f- % 2 . 
Aus diesem Verfahren folgt, dass die Zerlegung von r 
in die Summe von zwei Quadraten auf 
K^i + l)( Ä a H" !)(*« + 1) •• • 
Weisen möglich ist. Der ausgezeichnete Werth • r ist 
also im Allgemeinen ein ~ + l)(ar 2 -f- 1) - - - -facher, doch 
wird dieser Grad der Multiplicität um p geringer, wenn es 
^-mal vorkommt, dass m h — n h ist. Enthält r ausser den 
ungeraden Primfactoren p und q den Primfactor 2, so wird 
die Anzahl der Zerlegungen dadurch nicht grösser. Der 
niedrigste mehr als 2-fache ausgezeichnete Werth ist 
7c 2 = (~) 2 - 65 (4-fach); 
der niedrigste 6-fache ist (-^-) 2 • 325, u. s. w. üeber die 
Knotenlinien in solchen complicirten Fällen sind noch keine 
Untersuchungen vorhanden. 
Ist für alle Seiten des Quadrates die Randbedingung 
du 
d n 
0 vorgeschrieben, so sind die Normalfunctionen: 
mnx mty 
Wm-f l, n +1 = COS COS 
und die ausgezeichneten Werthe sind ebenfalls von der Form 
GJV + k 2 )- 
Hinsichtlich der Multiplicität der letzteren gilt hier also das 
selbe, wie bei der Grenzbedingung ü = 0; neu ist nur, dass 
jetzt auch die Werthe m = 0 und n — 0 zulässig sind, so 
dass es Normalfunctionen giebt, welche nur von einer Coor- 
PockeJs, Differentialgleichung. ß