86 Ueber die Gleichung: Att -f A 2 « = 0. 
Beispielsweise sind die Normalfunctionen des Würfels 
von der Kante a bei der Grenzbedingung ü — 0: 
. mnx . nny . pnz 
u m n v — sm sm —sin —; 
m ' n ' p a a a 7 
falls die ganzen Zahlen m, n und p alle drei von einander 
verschieden sind, und kein zahlentheoretisch besonderer Fall 
vorliegt, ist km,n,p— • (m 2 -{- ri l -f- p 2 ) ein sechsfacher aus 
gezeichneter Werth, weshalb jedenfalls die „Knotenflächen“ 
u — 0 gleich sehr complicirt ausfallen werden. 
Damit wollen wir diesen Ueberblick über diejenigen 
Gebiete, deren Normalfunctionen trigonometrische Functionen 
sind, vorerst beschliessen. Eine Anzahl solcher Bereiche 
von der Beschaffenheit, dass sich aus ihnen die bisher unter 
suchten durch symmetrische Wiederholung zusammensetzen 
lassen, wird jedoch in einem späteren Paragraphen noch zu 
besprechen sein, weil man ihre Normalfunctionen aus den 
bisher betrachteten durch ein dann zu erörterndes Princip 
von allgemeiner Bedeutung gewinnen kann. 
§ 7. Fälle, bei welchen Bessel’sche und Kugelfunctionen 
zur Anwendung kommen. 
a. Kreisfläche, bezw. von je zwei concentrischen Kreisen und 
Radien begrenzte Gebiete. 
Vielfach behandelt ist die Integration der Differential 
gleichung A« -f- k 2 u — 0 für eine ebene Kreisfläche, theils 
wegen der physikalischen Bedeutung dieses Problems (z. B. 
für Schwingungen einer kreisförmigen Membran, auch für 
die Wärmeströmung in einem Kreiscylinder, durch welches 
Problem Fourier*) zuerst auf die Bessel’schen Functionen ge 
führt wurde), theils wegen seines mathematischen Interesses 
als eines der einfachsten Beispiele für die Anwendung der 
Bessel’schen Functionen. — Man führt hier natürlich Polarcoor- 
dinaten r, cp ein, damit die Begrenzung des Gebietes durch 
*) Fourier, Analytische Theorie der Wärme; deutsch von Wein 
stein (Berlin 1884;; Cap. VI.