Yon den ausgezeichneten Lösungen. § 7. 
87 
Constantsetzen einer Coordinate (r = r) erhalten wird. Die 
partielle Differentialgleichung Au-\-¥ 2 u — 0 geht dann über in 
(26) 
Man versucht nun, derselben und der Grenzbedingung 
hu ^ — 0 (bezw. u = 0), 
worin wir wieder h als Constante voraussetzen, durch Lösungen 
u zu genügen, welche Produde aus einer Function R von r 
allein und einer Function 0 von cp allein sind; es ergiebt 
sich dann für R die gewöhnliche Differentialgleichung: 
und für 0: 
. o. r\ 
+ v ® 
d qp 2 1 
wo v zunächst beliebig ist. — Man findet aus der letzteren 
Gleichung 
0„ — r A v cos v(q> — cp,), 
wo mit cp v und A v die Integrationsconstanten bezeichnet 
sind. Da nun die Lösung u eindeutig sein soll, so muss 
0 periodisch sein bei Vermehrung des Arguments cp um 2n, 
folglich sind für v nur ganze Zahlen n zulässig, welche man ohne 
Beschränkung positiv annehmen kann. Dieses Resultat, dass 
00 
0 
zu setzen ist, hätte man auch durch die Erwägung ableiten 
können, dass sich die Lösung u als periodische Function von 
cp jedenfalls in eine Fourier’sche Reihe entwickeln lässt, deren 
Coefficienten dann (indem man gliedweise Differentiation als 
zulässig ansieht) der Gleichung (26') genügende Functionen 
von r sind. — Die Functionen R n müssen im ganzen Ge 
biete eindeutig, endlich und stetig sein; die diesen Bedin 
gungen genügenden Integrale von (26') sind aber die Bessel- 
schen Functionen erster Art des Argumentes kr von der Ordnung 
n = 0, 1, 2 . . .: 
J 0 (kr), J x (kr), J 2 (kr) . . . J n (kr) . . .