Von den ausgezeichneten Lösungen. § 7.
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m Werthe für
gung, sind die
. . . oo),
a jede dieser
&2besitzt.
3r Differential-
von der Form
Lusnahme von
usgezeichneter
en
P
¡vählt, d. h. zu
dass
Oonstanten zu
malfunctionen
= 1
e Werthe k m>n
agen, da die
hs jetzt unter
den Wurzeln der specielleren Gleichungen J n (ß) = 0 keine
gleichen bekannt*).
Dem zweifachen ausgezeichneten Werthe k m , n entsprechen
als Knotenlinien (m—1) concentrische Kreise von den Radien
■ r (wo l—l, 2 ...m—1 ist) und n Durchmesser, welche
m,n
von einander die gleichen Winkelobstände ^ (i — 1, 2 ... n)
haben. Die Radien der Knotenkreise sind unter Voraussetzung
der Grenzbedingung ü = 0 von Bourget für n== 0, 1, 2... 5
und m — 1, 2, ... 9 genau berechnet worden (vgl. die
unten citirte Abhandlung); Figuren, welche dieselben für die
einfachsten Fälle darstellen, hat Bayleigh in der Theorie des
Schalles, I, p. 365 geliefert. — Um die entsprechende Be
rechnung bei der Grenzbedin^ung = 0 oder der allge-
meinen hü 4- = 0 durchzuführen, wären die vorhandenen
ausführlichen Tabellen der Bessel’schen Functionen, z. B. die
von Hansen**), zu benutzen.
Die Veränderung, welche die Knotenlinien bei gegebenem
k„ hn erleiden können, besteht, da nur cp n willkürlich ist, ein
fach in einer Drehung des ganzen Systems um den Mittelpunkt.
Die vollständige Lösung des Problems der Schwingungen
einer kreisförmigen Membran oder Luftplatte führt auf die
Entwickelung einer willkürlichen Function von zwei Variabein
r, cp in die unendliche Doppelreihe
oo co
(28) G ?//)n Jn (k m5 n r^ cos n(cp cp n )
*) Bourget behauptet in der wesentlich experimentelle Resultate
enthaltenden Abhandlung: „Mémoire sur le mouvement vibratoire des
membranes circulaires“ (Ann. de l’école normale, III, 1866), dass unter
allen Wurzeln der Gleichungen
J 0 (z) = 0, /, (z) — 0 etc.
keine zwei gleichen Vorkommen könnten, giebt aber keinen Beweis
dafür, sonderp zeigt schliesslich nur, dass eine und dieselbe Gleichung
d n (z) = 0 keine mehrfachen Wurzeln haben kann.
**) Schriften der Sternwarte Seeberg, 1843,
