v erhält man 
rdende Integral 
t — v; dement- 
t Y v bezeichnet 
s A v : A— v und 
mzhedingungen 
>enso, wie beim 
i sind hier im 
ud concentrische 
der die gleichen 
und r x : r 2 nicht 
s Knotenlinie n- 
heim Rechteck, 
vizfall des Ring 
otenlinien sind, 
t ohne YVeiteres, 
er Knotenkreise 
ler Reihe nach 
. der durch die 
lieferten trans- 
hlossen werden, 
tegral 
•) 
ing ist. In der 
als der Factor 
tervall der Vä 
schen Sätze an- 
ipelt unendliche 
deren Knoten- 
Von den ausgezeichneten Lösungen. § 7. 95 
linien 0, 1, 2 ... oo Radien und 0, 1, 2 ... oo Kreise (in 
allen möglichen Combinationen jener Zahlen) sind, aber wir 
wissen noch nicht, ob dieselbe auch alle Normalfunctionen 
des Ringsectors enthält, weil die Entwickelbarkeit einer 
willkürlichen Function von r und nach Bessel’schen Func 
tionen von gebrochener Ordnung v, multiplicirt mit vcp 7 
bisher nicht mathematisch behandelt ist; es könnte ja ausser 
dem Normalfunctionen geben, welche nicht Producte R(r) .d>(cp) 
sind. Die Vollständigkeit des von uns gewonnenen Systems 
schliessen wir nun aber aus der soeben besprochenen Be 
schaffenheit der Knotenlinien auf Grund der Hypothese, dass 
sich die ausgezeichneten Werthe von k 2 und im Allgemeinen 
auch die Knotenlinien bei stetiger Aenderung der Begrenzung 
und Beibehaltung der Grenzbedingungen ebenfalls stetig ändern. 
Hiernach werden also, wenn man den Ringsector in ein 
Rechteck übergehen lässt, die n — 1 Radien in n — 1 Paral 
lele zu dessen einer Seite, die m — 1 Knotenkreise in eben 
so viele Parallele zur anderen Seite übergehen; für das 
Rechteck ist aber bekannt, dass die durch diese Knotenlinien 
bei allen möglichen Combinationen von m und n charakte- 
risirten Normalfunctionen die sämmtlichen möglichen sind, und 
da bei dem stetigen Uebergange keine Normalfunetion ver 
loren gehen oder gewonnen werden kann, so folgt hieraus 
die Vollständigkeit unseres Systems auch für den Ring 
sector. — Eine unstetige Aenderung der Knotenlinien würde 
allerdings eintreten können, sobald zwei ausgezeichnete 
Werthe einander gleich würden; allein der Uebergang lässt 
sich ohne Zweifel immer so ausführen, dass dies vermieden 
wird. — Das im Vorhergehenden benutzte Continuitätsprincip 
wurde von F. Klein in seiner Vorlesung „über partielle 
Differentialgleichungen der Physik“ (Sommer 1889) in der 
allgemeinen Fassung ausgesprochen: 
Wenn ein mechanisches System stetig geändert wird, so 
ändert sich hierbei jede Wurzel k 2 der determinirenden Gleichung *) 
*) Diese Wurzeln sind bei Systemen von unendlich vielen Graden 
der Freiheit eben diejenigen Werthe k 2 , welche wir ausgezeichnete nennen.