Von den ausgezeichneten Lösungen. § 7. 
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unendlich nahe am Pole, so geht dasselbe in ein ebenes Ge 
biet von der Art, wie es oben als Ringsector bezeichnet 
wurde, über; liegt das beim Grenzübergang auf der Kugel 
» betrachtete Viereck aber in endlicher Entfernung vom Pole, 
so wird es zu einem gewöhnlichen Rechteck. — 
Wir wollen uns nun mit den Normalfunctionen*) der 
bezeichneten sphärischen Curvenvierecke beschäftigen, welche 
sich physikalisch durch die Eigenschwingungen einer homogenen 
dünnen Luftschicht von jener Gestalt veranschaulichen lassen 
und nachstehender Differentialgleichung genügen: 
man erhält dieselbe, wenn man u in der in Polarcoordinaten 
r, ff, cp transformirten Gleichung Au-\-k' 2 u = 0 als von r 
unabhängig annimmt und r constant, z. B. =1 setzt. 
Führt man die rechtwinkligen Coordinaten |, rj in der 
Aequatorebene ein, auf welche die Kugelfläche mit dem Radius 
1 vom Pole & = je aus stereographisch projicirt sei, so ist 
sin ■0’ sin cp 
sin & COS Cp 
1 -f- cos F ’ ^ 
1 -|- cos it ’ 
und es geht die vorstehende Differentialgleichung in 
über, weil das lineare Vergrösserungsverhältniss bei der durch 
die stereographische Projection hergestellten conformen Ab- 
! + !* + »? 
ist**). Das zu betrachtende sphärische 
bildung 
2 
Viereck wird in der - H-Ebene auf einen Ringsector abgebildet. 
*) Wenn schlechthin von den „Normalfunctionen eines Gebietes“ 
die Rede ist, so sollen darunter immer die (ev. specialisirten) ausge 
zeichneten Lösungen der Differentialgleichung Au -f- Vu — 0 mit 
constantem Factor von u oder derjenigen Differentialgleichung, welche 
man aus dieser durch Einführung krummliniger Coordinaten erhält, 
verstanden sein, also diejenigen Functionen, welche z. B. den Eigen 
schwingungen einer homogenen, gleichförmig gespannten Membran oder 
einer homogenen Luftmasse (bezw. Luftschicht von constanter Dicke) 
von der gegebenen Gestalt entsprechen. 
**) Cf. I, (Vorkommen der Differentialgleichung), B; § 4. S. 28—30.