106 Ueber die Gleichung: Au -f- k 2 u — 0.
z = + 1, nur dann noch convergirt ; wenn g — v eine ganze
positive Zahl und ausserdem .4 = 0 ist, falls diese Zahl
ungerade, und B = 0, falls sie gerade ist. Da nun aus dem
selben Grunde, wie schon hei der Kugelzone, v eine ganze
Zahl sein muss, so folgt, dass für die volle Kugelfläche auch
g, d. h. der Grad der Kugelfunctionen, nothwendig eine positive
ganze Zahl (> v) ist. Dasselbe Resultat hat F. Klein in
seiner Vorlesung über partielle Differentialgleichungen der
Physik durch folgende Betrachtung abgeleitet. Jede Lösung
von (31), worin h 2 = g(g -f- 1) gesetzt sei, giebt mit r^ mul-
tiplicirt eine der Gleichung A V = 0 im Raume von drei
Dimensionen genügende Function, also ein Newton’sches
Potential; ist der Bereich, für welchen (31) zu integriren ist,
die volle Kugelfläche, so erhält man also ein Potential für
deren ganzen Innenraum. Soll nun die Lösung von (31) auf
der ganzen Kugelfläche endlich und stetig sein, so muss
dasselbe von jenem Potential gelten. Dasselbe lässt sich
daher nach Potenzen von x, y, z mit ganzen positiven Ex
ponenten entwickeln; da es aber r nur in dem Factor r* 1
enthält, so können in dieser Entwickelung keine anderen Ex
ponenten, als solche, deren Summe = g ist, Vorkommen;
folglich muss g eine ganze positive Zahl sein. Das erwähnte
Potential ist dann eine räumliche Kugelfunction im engeren
Sinne.
Die Grössen g, welche bisher die Wurzeln einer trans-
cendenten Gleichung waren, und damit die ausgezeichneten
Werthe li 2 — g(g -J- 1), bestimmen sich also für die volle
Kugelfläche allein aus den Stetigiceitsbedingungen. Um daran
zu erinnern, dass g und v jetzt positive ganze Zahlen sind
(0 inclusive), soll dafür von nun an m und n gesetzt
werden.
Die ausgezeichneten Lösungen der Differentialgleichung
(31) für die volle Kugelfläche sind identisch mit den Kugel
flächenfunctionen im engeren Sinne, die gewöhnlich schlecht
weg Kugelfunctionen, auch Laplace’sche Functionen, und von
den Engländern „complete surface spherical harmonics 11 genannt
werden; denn dieselben werden gewöhnlich detinirt als die auf
