Von den ausgezeichneten Lösungen. § 8. 
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allein ancli hierfür ist noch keine brauchbare Methode gefunden. 
Bruns hat sich mit der Integration einer in der Störungs 
theorie vorkommenden, mit (38) im Wesentlichen überein 
stimmenden Differentialgleichung beschäftigt, indem er darin 
V 2 und a als gegeben ansah; er ist dabei u. A. zu einer 
Relation gelangt, welche diejenige, die zwischen den Grössen 
li' 2 und a bestehen muss, damit das Integral periodisch ist, 
als speciellen Fall enthält. Die allgemeinen, nicht periodischen 
Integrale hat Lindemann untersucht; Hartenstein hat nur den 
Fall behandelt, wo das h 2 in der partiellen Differentialgleichung 
negativ ist. — Die Integration unter den Bedingungen ü — 0 oder 
= 0 für je zwei beliebige Ellipsen und Hyperbeln, also 
die Herstellung der Normalfunctionen für ein von den letz 
teren begrenztes Gebiet, scheint dagegen noch gar nicht ver 
sucht worden zu sein. Indessen lässt sich, wie ich unten 
begründen werde, auch ohne nähere Kenntniss derselben 
Folgendes behaupten: Es giebt für ein solches Curven- 
viereck eine doppelt unendliche Reihe von Normalfunctionen, 
welche längs jeder der vier Seiten (also für % — £ = | 2 
und rj — rix, V — V2) einer der Grenzbedingungen ü = 0 oder 
= 0 genügen (die allgemeinere Grenzbedingung mit in 
bestimmter Weise variabelem h, welcher auch durch Producte 
ZH genügt werden könnte, schliessen wir wegen Mangels 
einer einfachen physikalischen Bedeutung aus), und von denen 
eine jede durch eine bestimmte Zahl m— 1 von elliptischen und 
eine bestimmte Zahl n — 1 von hyperbolischen Knotenlinien, 
wobei alle Combinationen von m — 1, 2•••00 und n— 1, 2---oo 
Vorkommen, charakterisirt ist. Dieser Satz, welchen wir (wie 
in ähnlichen Fällen) das Oscillationstheorem nennen wollen (K.), 
lässt sich aus den in § 6a (S. 68 — 72) erörterten S^Mrm’schen 
Sätzen ableiten, da ja die Differentialgleichungen (38) ohne 
weitere Umformung unter die von Sturm betrachtete Form fallen. 
Die Betrachtungsweise ist hier nur aus dem Grunde etwas 
abzuändern, weil sich jetzt nicht mehr, wie bei den bisher 
betrachteten Bereichen, die Constante a der Differentialglei 
chungen gesondert aus den Grenzbedingungen für ein Paar