Von den ausgezeichneten Lösungen. § 8. 
139 
№ 
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der That entspricht die Einführung der elliptischen und 
parabolischen Coordinaten, welche in diesem Paragraphen 
unter (a) besprochen wurde, stets einer derartigen conformen 
Abbildung. H. Weber hat nun a. a. 0. untersucht, für welche 
ebenen Bereiche es mit Hülfe dieser conformen Abbildung, 
d. h. mittelst Einführung neuer Coordinaten £, r¡ durch die 
Relation 
x + iy = f(% -f ¿í ?) 
gelingt, die partielle Differentialgleichung 
d 2 u , 
r 
d 2 u 
+ №u = 0 
Die Bedingung 
dx i 1 dy 
durch Producte E (g) • H (rj) zu integriren 
hierfür ist, da die Differentialgleichung die Form 
+ 0 + ms + 
annimmt*), nach dem Vorhergehenden die, dass 
f (i + *Wi'8 — n) 
die Summe einer Function von £ allein und einer solchen 
von rj allein ist, und dies erfordert die Relation 
/"'(£ + iy) fi"— ir i) 
f(£ + iy) 
fi'(£ — iy) 
Const., 
wo die oberen Indices die Ableitung nach dem ganzen Argu 
ment von f bezw. /j bedeuten. Wird die Constante in der 
vorstehenden Gleichung speciell gleich Null gesetzt, so wird 
/'(£ -|- irj) eine ganze Function zweiten Grades, und man 
kommt auf die parabolischen Coordinaten; im Allgemeinen 
ergiebt sich für f eine Exponential- bezw. trigonometrische 
Function, was auf die elliptischen Coordinaten und in einem 
speciellen Fall auf die gewöhnlichen Polar coordinaten führt. 
Die schon besprochenen ebenen Bereiche sind demnach die 
einzigen, für welche die conforme Abbildung in der angege 
benen Weise zum Ziele führt. 
*) Yergl. I, § 4, S. 28, 29; dort stehen F, x’, y’ statt der hier 
gebrauchten f, r\.