Yon den ausgezeichneten Lösungen. § 9. 141 
Raume und die Dreiecke mit den Winkeln , — auf 
der Kugel. Sieht man von diesen ab und zunächst auch von 
dem ebenen gleichseitigen Dreiecke, so sind die durch sym 
metrische Wiederholung zusammensetzbaren schon behandelten 
Bereiche das Quadrat und der Würfel, also solche Gebiete, 
welchen mehrfache ausgezeichnete Werthe von k 2 zukommen. 
(Dies gilt auch von den später zu nennenden Bereichen 
insofern, als alle ausgezeichneten Werthe für die unend 
liche Ebene und den unendlichen Raum unendlich viel 
fache, auch jene für die volle Kugelfläche stets mehrfache 
sind.) Auf diesem Umstande beruht gerade die Möglichkeit, 
die Normalfunctionen der neuen, hier zu betrachtenden Be 
reiche aus denjenigen der aus ihnen zusammengesetzten 
Bereiche abzuleiten; man addirt nämlich die zu einem und 
demselben k 2 gehörigen Normalfunctionen des ursprünglichen 
Bereiches, nachdem sie mit willkürlichen Constanten multipli- 
cirt sind, und bestimmt die Verhältnisse jener willkürlichen 
Constanten so, dass der Grenzbedingung ü — 0 oder ^ — 0 
auch an denjenigen Linien oder Ebenen, welche den ur 
sprünglichen Bereich in die neuen zerschneiden, genügt wird, 
ein Verfahren, welches künftig als „Auswahl der Normal 
functionen des Theilbereich.es unter den ausgezeichneten 
Lösungen des ursprünglichen Bereiches“ bezeichnet werden 
möge. Dieses Verfahren ist natürlich nur anwendbar, wenn 
für die neu auftretende Begrenzungsgerade oder -Ebene die Be 
dingung ü — 0 oder = 0 gestellt ist, und zwar hat man 
in diesem Falle unter den ausgezeichneten Lösungen des 
ursprünglichen Bereiches die in Bezug auf jene Gerade oder 
Ebene antisymmetrischen oder symmetrischen auszuwählen, je- 
nachdem die Bedingung ü — 0 oder ^ = 0 gefordert 
ist. Wenn für die neue Begrenzung die Grenzbedingung 
hü 4- ™ = 0 bestehen soll, so sind die Normalfunctionen 
des Theilbereiches nicht aus denen des ursprünglichen zu 
sammensetzbar.