144 Ueber die Gleichung: Au -f- Du = 0. 
Vorzeichen gewechselt haben, also nicht in der ganzen Ebene 
bezw. dem ganzen Raume eindeutig sein. 
Ausgeschlossen werden durch die erörterte Beschränkung 
von ebenen Bereichen der Rhombus und das gleichschenklige 
Dreieck vom Winkel 120°, sowie das regelmässige Sechseck, von 
räumlichen z. B. das Rhombendodekaeder, mit welchen Be 
reichen man sonst durch symmetrische Wiederholung die 
Ebene bezw. den Raum einfach und lückenlos ausfüllen könnte; 
diejenigen Normalfunctionen dieser Bereiche, welche nicht 
schon ihren später zu erwähnenden aliquoten Theilen (z. B. 
dem gleichseitigen Dreieck) angehören, sind also keine trigo 
nometrischen, sondern weit complicirtere Functionen, deren 
Kenntniss übrigens vom mathematischen Standpunkte gerade 
sehr interessant sein würde. 
Die ebenen Bereiche, welche wir gemäss der nunmehr 
beschränkten Definition hier zu betrachten haben werden, 
sind nun folgende: das gleichschenklige rechtwinklige Dreieck, 
das gleichseitige Dreieck und das rechtwinklige Dreieck mit 
den Winkeln 30° und 60° (ausserdem das Rechteck und seine 
Grenzfälle, die wir natürlich bei Seite lassen). 
Im Raume von drei Dimensionen kommen in Betracht*): 
zunächst diejenigen geraden Prismen, welche zum Querschnitt 
einen der soeben genannten ebenen Bereiche haben, sodann 
zwei Tetraeder, die aliquote Theile des Würfels sind; die eine 
Art (das „tétraèdre Lamé’s) liefert den ganzen Würfel nach 
sechsmaliger Spiegelung und hat die Flächenwinkel , ~ } 
u u 
y, y, -J und zu Seitenflächen zwei gleichschenklige 
rechtwinklige Dreiecke und zwei rechtwinklige Dreiecke vom 
Kathetenverhältniss 1 : ]/2 ; die Tetraeder der anderen Art 
(„tétraèdre T V0> von welchen 24 den Würfel ausfüllen, 
besitzen die Flächenwinkel y, y, y, y, y, ~ und haben 
*) Ueber das allgemeine Problem der regelmässigen Raumtheilung 
vergleiche man die Arbeiten von A. Schönflies, Math. Annalen 28, 29 
und 34.