Von den ausgezeichneten Lösungen. § 9. 
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neten Werthe ist. Diesen Werthen k^^ entsprechen dem 
nach hei der gleichförmig gespannten homogenen Membran 
von der Gestalt eines gleichseitigen Dreiecks (von der Höhe 3r) 
die harmonischen Obertöne des Grundtones; letzterer stimmt 
überein mit dem Grundtone eines Quadrates, dessen Diagonale 
gleich der Höhe 3 r des gleichseitigen Dreiecks ist, woraus her 
vorgeht, dass sich der Flächeninhalt des gleichseitigen Drei 
ecks zu jenem des Quadrates von gleichem Grundton wie 
2 : ]/3 verhält. — Die Knotenlinien sind im vorliegenden 
Falle g = v Parallele zu den Seiten des Dreiecks, welche das 
letztere in g 2 congruente gleichseitige Dreiecke theilen. 
Im allgemeinen Falle, wo g ^ v ist, führt die Frage nach 
der Multiplicität von k 2 auf das zahlentheoretische Problem, 
sämmtliche Darstellungen einer gegebenen ganzen Zahl m durch 
die quadratische Form g 2 -f- gv -J- v 2 oder -j- Qg' 2 -{- ov' 2 ) zu 
finden*). — Man würde zu diesem Zwecke die Zahl m in ihre 
complexen Primfactoren von der Form a -f- ßg und a -j- ßQ 2 , 
wo q eine dritte Einheitswurzel bedeutet, zu zerlegen und dann 
ähnlich zu verfahren haben, wie bei der Darstellung durch die 
Summe zweier einfacher Quadrate, wobei die complexen 
Primfactoren cc -f- ßi und a — ßi zu ermitteln waren (vergl. 
S.80,81). — Die ausgezeichneten Werthe k 2 ordnen sich in ebenso 
—j — 
durch Multiplication mit 2 2 , 3 2 , 4 2 • • • hervorgehen, und von 
denen jede einer Reihe harmonischer Töne entspricht, als es 
ganze Zahlen m giebt, welche sich in der Form 
g 2 -f- gv -f- v 2 
darstellen lassen und nicht durch eine Quadratzahl tlieilbar 
sind. Dazu kommt noch eine Reihe, für welche g 2 -\- gv -f- v 2 
selbst eine Quadratzahl ist, und deren Anfangsglied y 
*) Näheres über dieses zahlentheoretische Problem findet man 
z. B. in Bachmann’s „Lehre von der Kreistheilung“ (Leipzig 1874), 
S. 138—144 und 185—199.