Von den ausgezeichneten Lösungen. § 10. 
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nämlich um Gebiete auf der Kugelfläche, wie die besondere 
Form der Function f (welche das reciproke Flächen-Ver- 
grösserungsverhältniss bei der stereographischen Projection 
darstellt; vergi. S. 101) sofort erkennen lässt. Ein sphäri 
sches Flächenstück ; für welches vorstehende Differential 
gleichung eine im Innern nirgends das Vorzeichen wechselnde 
ausgezeichnete Lösung besitzt, ist insbesondere die halbe 
Kugelfläche; denn die Vergleichung mit Gleichung (31') zeigt, 
dass hier k 2 den speciellen Werth 2 besitzt, welcher den vollstän 
digen Kugelflächenfunctionen erster Ordnung (cf. S. 106) zukommt, 
und die letzteren verschwinden nur auf einem grössten Kreise. 
Die physikalischen Probleme, für welche das Verfahren 
von H. A. Schwärs die Lösung liefert, sind offenbar in erster 
Linie: die Bestimmung des Grundtones und der zugehörigen 
Schwingungsform für eine beliebig gestaltete (ebene) Membran 
von beliebig, jedoch stetig variabeler (überall endlicher und 
positiver) Dichte, aber constanter Spannung, und für eine am 
Bande offene dünne Luftschicht von constanter Dicke, welche 
die Gestalt eines beliebigen Stückes irgend einer krummen 
Fläche besitzt. — Ueber die Begrenzung wird nur voraus 
gesetzt, dass sie aus einer endlichen Anzahl von Stücken ana 
lytischer Linien besteht und ganz im Endlichen liegt. 
Da hier der Inhalt jener wichtigen Abhandlung von 
H. A. Schwarz doch nur auszugsweise wiedergegeben werden 
kann, so ist es wohl zweckmässiger, die Bezeichnungen des 
Letzteren unverändert beizubehalten und dementsprechend im 
Folgenden p{x, y) statt k 2 f(x, y) und w statt u zu schreiben, 
so dass die zu betrachtende Differentialgleichung heisst: 
Aw p(%, y) w = 0. 
Die Methode von Schwarz knüpft an die Theorie des 
logarithmischen Potentials an und beruht auf der Möglichkeit, 
die Differentialgleichung A w -f- /j (x } y) = 0 für den gegebenen 
Bereich in der XY-Ebene zu integriren, und zwar so, dass 
die Randwerthe von w gleich Null sind. Diese Lösung w wird 
durch das über den ganzen Bereich erstreckte Doppelintegral 
(48) w(x, y) = J J f x (£,vi)G(x,y, l,rf)dUn