Full text: Über die partielle Differentialgleichung [delta] u + k 2 u = 0 und deren Auftreten in der mathematischen Physik

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Ueber die Gleichung: Au -f- Jc 2 u — 0. 
dass der so berechnete Werth von -- möglichst klein wird: 
1/1 ° 5 
diese Rechnung hat Poincare ebenfalls durchgeführt. Natür 
lich könnte man so mit beliebigen Annahmen für u ver 
fahren und würde dem wahren Werthe von Jcj 2 im Allgemeinen 
um so näher kommen, je mehr willkürliche Constanten, 
angenommene Function u enthält. 
Zur Berechnung einer oberen Grenze für ltn giebt 
Poincare folgendes Verfahren an, von welchem das soeben 
besprochene ein specieller Fall ist. Man bilde die Integrale 
cp und cp für eine Function 
u — a 1 F 1 -{- a 2 F 2 -f- • • • -f- cc n F n , 
wo F 1 ... F n willkürliche Functionen der Coordinaten, cq . .. 
a n willkürliche Constanten bedeuten. Dann ist 
(p — Xcp 
offenbar eine quadratische Form von a 1 ... a n , deren Deter 
minante gleich Null gesetzt eine Gleichung n ten Grades für 
A liefert, welche lauter reelle Wurzeln besitzt, weil die qua 
dratischen Formen cp und cp definit sind. Die Wurzeln dieser 
Gleichung, welche nach der Grösse geordnet X t , A 2 ... l n seien, 
sind die Maxima bezw. Minima, welche der Werth von — 
1/» 
bei Variation der oq ... u n annimmt; l n ist also der absolut 
grösste Werth, welchen bei gegebenen Functionen F i ... 
F n erreichen kann. Derselbe ist sicher nicht kleiner, als das 
Maximum von — im Falle, dass zwischen den a, ... a n Be- 
W ' A 
dingungsgleichungen festgesetzt sind, insbesondere die n — 1 
linearen Gleichungen, welche durch die Verfügung 
geliefert werden. In den letzteren Gleichungen bezeichnen 
tq . . . u n —i die zu den n — 1 kleinsten ausgezeichneten 
Werthen Tt\...W n _ 1 gehörenden ausgezeichneten Lösungen der
	        
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