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Ueber die Gleichung: Au -f- Jc 2 u — 0.
dass der so berechnete Werth von -- möglichst klein wird:
1/1 ° 5
diese Rechnung hat Poincare ebenfalls durchgeführt. Natür
lich könnte man so mit beliebigen Annahmen für u ver
fahren und würde dem wahren Werthe von Jcj 2 im Allgemeinen
um so näher kommen, je mehr willkürliche Constanten,
angenommene Function u enthält.
Zur Berechnung einer oberen Grenze für ltn giebt
Poincare folgendes Verfahren an, von welchem das soeben
besprochene ein specieller Fall ist. Man bilde die Integrale
cp und cp für eine Function
u — a 1 F 1 -{- a 2 F 2 -f- • • • -f- cc n F n ,
wo F 1 ... F n willkürliche Functionen der Coordinaten, cq . ..
a n willkürliche Constanten bedeuten. Dann ist
(p — Xcp
offenbar eine quadratische Form von a 1 ... a n , deren Deter
minante gleich Null gesetzt eine Gleichung n ten Grades für
A liefert, welche lauter reelle Wurzeln besitzt, weil die qua
dratischen Formen cp und cp definit sind. Die Wurzeln dieser
Gleichung, welche nach der Grösse geordnet X t , A 2 ... l n seien,
sind die Maxima bezw. Minima, welche der Werth von —
1/»
bei Variation der oq ... u n annimmt; l n ist also der absolut
grösste Werth, welchen bei gegebenen Functionen F i ...
F n erreichen kann. Derselbe ist sicher nicht kleiner, als das
Maximum von — im Falle, dass zwischen den a, ... a n Be-
W ' A
dingungsgleichungen festgesetzt sind, insbesondere die n — 1
linearen Gleichungen, welche durch die Verfügung
geliefert werden. In den letzteren Gleichungen bezeichnen
tq . . . u n —i die zu den n — 1 kleinsten ausgezeichneten
Werthen Tt\...W n _ 1 gehörenden ausgezeichneten Lösungen der