Allgemeine Sätze über die Functionen u. § 3. 
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eines Elementes ds dieser Curve vom Punkte x, y bezeichnet. 
Dieses Beweisverfahren hat nun H. Weber in seiner mehrfach 
genannten Abhandlung (Math. Ann. 1) auf die Lösungen der 
partiellen Differentialgleichung Au 1c 2 u — 0 in der Ebene 
übertragen. Es lässt sich nämlich der Werth von u in irgend 
einem Punkte x 0 , y 0 ebenfalls durch ein längs einer ge 
schlossenen, denselben umschliessenden Curve gebildetes In 
tegral darstellen, welches sich von dem obigen nur dadurch 
unterscheidet, dass die Bessel’sche Function zweiter Art 
an Stelle von log r steht. Dies ergiebt sich, wie beim loga- 
rithmischen Potential, durch Anwendung des Green’sehen Satzes: 
(59! f i‘( du ' du " du> dxdv _ llL. d o 
[ } J J \dx dx ^ dy dy) axay ~J dn aS 
—J*J u Au" dxdy =J u'^-ds—-J‘J u" Au dxdy 
auf einen Bereich, aus welchem der Punkt x 0 , y 0 durch einen 
kleinen Kreis ausgeschnitten ist, so dass die Randintegrale 
aus einem längs der Randcurve s und einem längs ^jenes 
kleines Kreises zu nehmenden Theile bestehen, wobei n immer 
die nach Aussen gerichtete Normale, also auf dem Kreise 
dem von x 0 , y 0 aus gerechneten Radius r entgegen gerichtet 
ist. Setzt man nun für u eine Lösung der Differential 
gleichung Au -f- h 2 u = 0, für u" die speeielle Lösung 
— Y {) (ltr), welche im Punkte x Q , y 0 unendlich gross wie 
log r wird, so wird J*J u'Au"dxdy = JJ u"Au'dxdy, 
und es bleibt von den Integralen, weiche über den um y 0 
beschriebenen Kreis zu erstrecken sind, wenn derselbe un 
endlich klein wird, nur J ü d Y ^ r) ds ü b r i g? ¿ esseil Grenz 
werth = 2tiu(x 0 , y 0 ) ist. Folglich erhält man 
(60) u(x 0 , y 0 ) 
kJ 
dY 0 (kr) du 
dn 
dn 
Y 0 (kr) [ ds. 
Wenn diese Formel gilt, so ist ii(x 0 , y 0 ) im ganzen von 
der Curve s umschlossenen Gebiete eine analytische Function. 
Mit Rücksicht auf die Bedingungen, unter welchen die Green- 
sche Gleichung (59) überhaupt gültig ist und in die vor