Wichtigkeit und der weitläufigeren Erörterungen, zu denen 
sie Anlass giebt, im folgenden Paragraphen besprochen 
werden. 
§ 4. Über die Linien und Flächen, auf welchen die 
Functionen u verschwinden. Reihenentwickelungen für 
die Functionen u. 
a. Analogon zum Gauss’schen Mittelwerthsatze der Potential 
theorie und Folgerungen über die Existenz von Nulllinien bezw. 
Nullflächen. 
Bekanntlich ist der Werth einer Potentialfunction in 
irgend einem Punkte gleich dem arithmetischen Mittel aus 
den Werthen dieser Function auf irgend einem um diesen 
Punkt als Mittelpunkt beschriebenen Kreise bezw. auf einer 
um ihn beschriebenem Kugelfläche, vorausgesetzt, dass dieser 
Kreis oder diese Kugel keine singulären Punkte jenes Po 
tentials umschliesst. Dieser Satz ergiebt sich durch Anwen 
dung der Gleichung 
V(x 0 , y„) = - A J (log f §£ - d -fjp F) 
oder 
n*» I/O- *o) = + Ä ff (r f? - W r)' d ° 
auf einen Kreis oder eine Kugel mit dem Punkte x 0 , y 0 oder 
x 0 , y 0 , z 0 als Mittelpunkt; denn in diesem Falle ist, die ge 
wöhnlichen Stetigkeitseigenschaften von V vorausgesetzt, 
/* Q T? 2 „ 1 
“5— constant 
on 
Um zu einem entsprechenden Satze für die Lösungen 
von A u + 7c 2 u = 0 zu gelangen, hat man die Gleichungen 
(60), (61) und (62), (63), welche unter den hier für u voraus 
gesetzten Stetigkeitsbedingungen gelten, auf den um den 
Punkt 
beschriebene Kugel anzuwenden 
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