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Ueber die Gleichung: Aгt -j- k?u — 0. 
Diese Gleichungen gestatten nun eine Reihe interes 
santer Schlüsse, welche für den Fall der Ebene grössten- 
theils schon von E. Weber gezogen worden sind. — Aus 
(66) und (67) folgt zunächst, wie in der Potentialtheorie, 
dass durch einen Punkt, in welchem u(= u 0 ) = 0 ist, 
mindestens eine Linie bezw. Fläche hindurchgehen muss, auf 
welcher u verschwindet; denn andernfalls könnten die Mittel- 
werthe auf einer um jenen Punkt beschriebenen Kreislinie 
bezw. Kugelfläche von beliebigem Radius nicht verschwinden, 
wie es doch nach den genannten Gleichungen thatsäehlich 
der Fall ist. Ebenso ist aus (68) und (69) zu schliessen, 
dass durch einen Punkt, in dem u 0 = 0 ist, auch mindestens 
eine Linie bezw. Fläche hindurchgeht, längs welcher 
verschwindet. 
Ferner muss u auf dem Kreise (der Kugel) vom Radius r 
den Werth u 0 J 0 (kr) (bezw. u 0 mindestens an zwei 
Punkten (bezw. auf einer geschlossenen Curve) annehmen, 
woraus folgt, dass u auf mindestens einer durch den Punkt 
x 0 , y 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) gehenden nicht geschlossenen Curve (Fläche) 
mit wachsendem r dieselben Werthe in derselben Reihen 
folge annimmt, wie u 0 J 0 (kr) (bezw. u 0 —j~-)' 
Aus dem Mittelwerthsatze der Potentialtheorie wird 
geschlossen, dass ein Potential für einen gegebenen Bereich 
niemals in Punkten im Innern desselben Maxima und Minima 
erreicht. Dieser Schluss lässt sich für die Functionen u 
nicht ziehen, da der Mittelwerth 
bezw. 
nicht vom Badius r des Kreises oder der Kugel unabhängig ist, 
und in der That zeigen die im Theil II betrachteten Beispiele, 
am besten das des Kreises, dass es im Innern eines Bereiches 
geschlossene Curven (bezw. Flächen) und auch Punkte geben 
kann, wo u ein Maximum oder Minimum erreicht. — Daher 
kann man auch nicht schliessen, dass die Punkte, in denen 
u = Const. ist, immer Curven (bezw. Flächen) erfüllen, wie