220 Ueber die Gleichung: Au -|- Jc 2 u = 0.
Functionen u kennen gelernt, die Producte aus trigonome
trischen Functionen sind, und im Falle einer Variabein gehen
die Functionen u geradezu in sin hx und cos hx über. Man
könnte die Lösungen von Au -j- h 2 u = 0 oder noch allge
meiner diejenigen der Differentialgleichung Au -f- h 2 fu = 0,
worin f eine durchaus positive analytische Function der
Coordinaten ist, wegen des gerade besprochenen charakte
ristischen Verlaufes wohl zweckmässig als oscillirende
Functionen bezeichnen. Specielle Fälle derselben sind die
jenigen Functionen einer Variabelu, für welche wir im § 8
des II. Theiles das Oscillationstheorem bewiesen haben.
Es muss jedoch ausdrücklich bemerkt werden, dass das
Vorstehende nur gilt, wenn h 2 positiv ist; bei negativem
h 2 (= — h' 2 ) existiren keine solche Systeme von Nullcurven
oder Nullflächen, da die Factoren von u 0 in (66) und (67)
e k'r_ e —k'r
dann J 0 (h'ri) und — heissen und somit für keinen
reellen Werth von r verschwinden. Das Verhalten der zu
negativem h 2 gehörigen Functionen u ist daher demjenigen
der Potentialfunctionen viel ähnlicher.
Die betrachteten Nullcurven und -Flächen sind physi
kalisch zu deuten als die Knotenlinien einer unbegrenzten
homogenen und gleichmcissig gespannten Membran bezw. als die
Bäuche (Flächen, auf welchen keine Bewegung der Theilchen
stattfindet) bei den stehenden Schwingungen des unbegrenzten
Luftraums bei gegebener Schwingungsdauer. Hiernach ist plau
sibel, dass sie auch für die Functionen, welche der allge
meineren, den Schwingungen inhomogener Membranen oder
Luftmassen entsprechenden Differentialgleichung
Am -f- h 2 fu = 0
genügen, existiren müssen, sofern die Function f überall
positiv ist. Ein mathematischer Beweis hierfür ist jedoch
bisher nicht erbracht.
Gemäss den Gleichungen (68) und (69) giebt es bestimmte
Radien r von der Art, dass auf jeder Kreislinie bezw. Kugel
fläche, welche mit einem dieser Radien um einen beliebigen
Mittelpunkt beschrieben ist, das arithmetische Mittel der
