Unendliche verlaufen, immer aber theilen sie das betrach
tete Gebiet der Ebene in Gereiche, deren Dimensionen wenig
stens in einer Dichtung endlich sind. Ganz Analoges gilt
für die Functionen u im Baume. Diese Bereiche nun, inner
halb welcher die gerade betrachtete Function u ihr Vorzeichen
nicht wechselt und an deren Bande sie verschwindet, sollen die
zu ihr gehörigen Elementarbereiche genannt werden. Man kann
sich also die Aufgabe stellen, für einen gegebenen Werth h 2
und eine gegebene Lösung von Au -j- h 2 u — 0 die zuge
hörigen Elementarbereiche zu bestimmen, oder aber man kann
auch nur den Werth von h 2 als gegeben betrachten und nach
zu ihm gehörenden Elementarbereichen fragen, deren es
dann natürlich eine unendliche Mannigfaltigkeit giebt. Diese
letztere Fragestellung ist gerade die Umkehrung von der
jenigen, welche uns im Theil II beschäftigte, wo die zu einem
gegebenen Bereiche, an dessen Rande u—0 sein sollte, gehören
den Werthe von h 2 zu ermitteln waren. Wie dort von aus
gezeichneten Werthen von h 2 für einen gegebenen Bereich
die Rede war, so könnte man auch umgekehrt von „aus
gezeichneten Bereichen u (d. h. ausgezeichneten Begrenzungs-
curven oder -Flächen) sprechen, die zu einem bestimmten
Werthe h 2 gehören. —
Physikalisch würde die jetzt besprochene Problemstellung
z. B. lauten: Es soll die Gestalt solcher homogener Membranen ge
funden werden, welche einen und denselben bestimmten Grundton
geben. Bei den Functionen u im Raume wäre eine Problemstel
lung von anschaulicher physikalischer Bedeutung (nämlich etwa
diese: die Gestalt geschlossener Lufträume zu finden, welchen
ein gegebener Grundton zukommt) wohl nur dann möglich,
wenn diejenigen Elementarbereiche betrachtet würden, an
:<J ™ =0 ist, was ja nach dem oben Ge
sagten in derselben Weise geschehen könnte, wie bei der Grenz
bedingung ü = 0.
Nach dem Vorstehenden ist jede beliebige in einem
Theile der Ebene bezw. des Baumes eindeutige, endliche und
stetige Lösung von Au -p h 2 u = 0 für bestimmte Bereiche eine
