„ausgezeichnete Lösung“ in dem früher definirten Sinne, so 
dass also bei der jetzigen Betrachtungsweise der Unterschied 
zwischen ausgezeichneten und allgemeinen Lösungen der Diffe 
rentialgleichung verschwindet. — 
Wir wollen nun zunächst einen Satz ableiten, welcher 
geeignet ist, die Vorstellung von der Theilung der Ebene 
(oder des Raumes) in Elementarbereiche etwas klarer zu 
machen, nämlich den Satz, dass man zwei zu einem und dem 
selben k 2 gehörige Elementarbereiche nie so über einander legen 
kann, dass der eine ganz in das Innere des andern fällt. Der 
Beweis soll für Bereiche in der Ebene geführt werden, würde 
sich aber für den Raum vollständig analog gestalten. 
Es seien u, u" zwei zu demselben k 2 gehörige Lö 
sungen der Differentialgleichung, und es werde angenom 
men, dass ein Elementarbereich T' von u' einem solchen 
T" von u" ganz oder doch mit Ausnahme einzelner gemein 
samer Stücke der Begrenzung in sich enthalte. Die Grenz- 
eurve von T' werde mit a, diejenige von T" mit b bezeichnet. 
Dann kann man annehmen, dass u in T'', u" in T" positiv 
ist; wäre dies von vornherein nicht der Fall, so brauchte 
man ja nur den Factor — 1 in die betreffende Function u 
aufzunehmen. Da u an jeder Nulllinie das Zeichen wechselt, 
so ist bei dieser Festsetzung u" in dem, allgemein zu reden, 
ringförmigen Bereiche zwischen a und b, sowie auf der 
Curve a überall negativ, wenn der Einfachheit wegen vor 
ausgesetzt wird, dass zwischen a und b keine Nullcurve von 
u" liegt. (Wäre letzteres der Fall, so würde man die folgende 
Betrachtung auf den Bereich zwischen jener Nullcurve und 
a anzuwenden haben.) Dann ist ferner 4^- auf a und 4^- 
' dn dn 
auf b negativ, wenn unter n beidemal die aus dem Bereiche 
T' bezw. T" hinaus gerichtete Normale verstanden wird. 
Wendet man nun den Green’schen Satz 1 
JJ (u Au" — u"Au')dxdy — J ('u 
du" 
dn 
_,> du 
U -x— 
dn 
j ds 
auf den Bereich zwischen a und b an, so verschwindet das 
Doppelintegral, da u und u" beide der Differentialgleichung 
'Mn