Allgemeine Sätze über die Functionen u. § 4. 
solcher, zu dem nur eine Normalfunction gehört (vergl. das 
Verfahren von Schwarz zur Herstellung der letzteren, II, § 10), 
und da eine Lösung u, die in einem Stück der Ebene bezw. 
des Raumes gegeben ist, auch in ihrem Gesammtverlauf voll 
ständig bestimmt ist. Demnach kann jede Lösung von 
Am -f- k 2 u — 0 durch einen bestimmten Bereich, nämlich 
irgend einen ihrer sämmtlichen Elementarbereiche, eharak- 
terisirt werden. Berücksichtigt man noch das Stetigkeits- 
princip (S. 95) und die S. 167 erwähnte Beziehung der aus 
gezeichneten Werthe 7c 2 zu den Dimensionen des zugehörigen 
Bereiches, so gelangt man zu dem bemerkenswerthen Satze: 
Die Differentialgleichung Au -j- k 2 u — 0 mit gegebenem k 
besitzt immer eine und nur eine Lösung, für welche einer ihrer 
Elementarbereiche einem beliebig gegebenen Bereiche ähnlich ist. 
Diese Lösung wird im Allgemeinen bei analytischer 
Fortsetzung keineswegs überall eindeutig und stetig bleiben, 
obwohl man unendlich viele Bereiche vorschreiben kann, für 
welche dies eintritt. — 
c. Sätze über den Schnitt der Nullcurven und Null flächen; 
Entwickelung der Functionen u für die Umgebung nicht 
singidärer Punkte. 
Nach einem von Bankine aufgestellten Satze schneiden 
sich zwei Niveauflächen des Newton’schen Potentials recht 
winklig, ausser wenn durch ihre Schnittlinie noch mehr 
Niveauflächen hindurch gehen, in welchem Falle sich dieselben 
alle unter gleichen Winkeln schneiden*). Analoges gilt für die 
Niveaulinien des logarithmischen Potentials. — Diese Eigen 
schaft der Niveaulinien und -Flächen lässt sich leicht aus 
der Entwickelung des Potentials für die Umgebung eines 
nicht singulären Punktes ableiten, und auf dem entsprechen 
den Wege werde ich nachstehend für die Functionen u den 
Satz beweisen: 
Wenn n Nulllinien einer Function u in der Ebene durch 
*) Maxwell, Electricität und Magnetismus; übersetzt von Wein 
stein. I. p. 169—171. 
Pockels, Differentialgleichung. 15