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Ueber die Gleichung: Au -p Vu = 0, 
§ 6. Andeutungen zu weiterer functionentheoretischer 
Untersuchung der Lösungen von Am -f- k 2 u — 0. 
So lange man nur solche der Differentialgleichung 
Au -J- k 2 u = 0 genügende Functionen betrachtet, welche im 
ganzen unbegrenzten Raume, in der ganzen Ebene oder auf 
einer ganzen geschlossenen Fläche eine directe physikalische Be 
deutung haben sollen, kann man sich auf eindeutige Functionen 
beschränken, wie wir es hier meistens gethan haben, und hat es 
dann nur mit den im Vorhergehenden besprochenen Singulari 
täten zu thun. Denn bei allen im I. Theile angeführten physi 
kalischen Problemen, welche auf die partielle Differential 
gleichung Am + k 2 u = 0 und die verwandten Gleichungen 
führen, ist die Function u zufolge ihrer physikalischen Be 
deutung (als Verrückung bei der schwingenden Membran, 
Verdichtung bei den Luftschwingungen, Temperatur bei den 
Wärmeleitungsproblemen) nothwendig selbst eindeutig, während 
bekanntlich bei vielen Problemen, wo die Potentialgleichung 
AF = 0 auftritt, nur die Differentialquotienten von V ein 
deutig zu sein brauchen. — Lösungen unserer Differential 
gleichung, welche, entsprechend ihrer physikalischen Bedeu 
tung, nur für begrenzte Bereiche eindeutig erklärt sind, werden 
dagegen bei der analytischen Fortsetzung über diese Bereiche 
hinaus im Allgemeinen nicht eindeutig bleiben, was gelegent 
lich schon früher (S. 225) hervorgehoben wurde. Dem 
nach sind nicht nur vom rein mathematischen Stand 
punkt, sondern auch für die physikalischen Anwendungen 
die vieldeutigen Functionen u von Wichtigkeit, und es wäre 
sehr wünschenswerth, dass die Eigenschaften dieser letz 
teren, ihre Verzweigungspunkte und singulären Punkte, ihr 
Verhalten auf Riemann’schen Flächen u. s. w. planmässig 
untersucht würden, kurz alle die functionentheoretischen 
Fragen, welche in der Theorie des Newton’schen und loga- 
rithmischen Potentials behandelt werden. Es würden sich 
dabei natürlich manche interessante Unterschiede ergeben; 
z. B. könnte man nicht, wie beim Potential, Functionen auf 
mehrfach zusammenhängenden Flächen construiren, welche