Full text: Über die partielle Differentialgleichung [delta] u + k 2 u = 0 und deren Auftreten in der mathematischen Physik

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Ueber die Gleichung: Au -J- k 2 u = 0. 
gung von der Form kF -f = 0 gilt, liegt die dritte 
Randwerthaufgabe vor, wenn für das die Mantelfläche um 
gebende Mittel eine zeitlich constante Temperaturvertheilung 
XJ gegeben ist, und an der Mantelfläche wiederum ein Wärme 
austausch durch äussere Leitung oder Strahlung stattfindet; 
c) ebenso ist es bei der stationären Wärmeleitung in 
einer ausstrahlenden dünnen Platte, für deren Rand analoge 
Verhältnisse wie die eben bezeichneten gelten, nur ist in 
diesem Falle der gegebene Werth h 2 negativ. — 
Vom physikalischen Standpunkte aus wird Niemand 
daran zweifeln, dass die genannten Probleme im Allgemeinen 
eine ganz bestimmte Lösung besitzen, und wir schliessen dar 
aus, dass dies auch von den mathematischen Randwerth- 
aufgaben gilt, wofür natürlich nichts desto weniger ein mathe 
matischer Beweis noch erbracht werden müsste. — Nur 
wenn 7c 2 ein ausgezeichneter Werth des gegebenen Bereiches 
ist, ergiebt eine physikalische Ueberlegung (nämlich bei den 
Schwingungsproblemen die, dass die Eigenschwingungen nicht 
unendlich verstärkt werden dürfen) die Nothwendigkeit einer 
Bedingung für die gegebenen Randwerthe, worauf wir später 
ausführlich eingehen werden. 
Es braucht kaum erwähnt zu werden, dass den Randwerth 
aufgaben bei eindimensionalen Gebieten die Aufgabe entspricht, 
eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ord 
nung für u(x) so zu integriren, dass an den Endpunkten des 
Gebietes u oder ^ oder hu -}- ^ gegebene Werthe hat, so 
dass sich also hier die. Aufgabe auf eine Bestimmung der 
Integrationsconstanten reducirt. Bekannte physikalische Bei 
spiele sind die durch periodische Bewegung der Enden er 
zwungene Schwingung einer Saite und die stationäre Wärme 
leitung in einem ausstrahlenden Stabe, dessen Endflächen an 
ein Medium von gegebener Temperatur grenzen; das erstere ist 
geeignet, um sich im einfachsten Falle die Beschränkungen 
klar zu machen, welchen die Grenzbedingungen zu unterwerfen 
sind, falls h 2 ein ausgezeichneter Werth ist, also die Periode
	        
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