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Ueber die Gleichung: Au -J- k 2 u = 0.
gung von der Form kF -f = 0 gilt, liegt die dritte
Randwerthaufgabe vor, wenn für das die Mantelfläche um
gebende Mittel eine zeitlich constante Temperaturvertheilung
XJ gegeben ist, und an der Mantelfläche wiederum ein Wärme
austausch durch äussere Leitung oder Strahlung stattfindet;
c) ebenso ist es bei der stationären Wärmeleitung in
einer ausstrahlenden dünnen Platte, für deren Rand analoge
Verhältnisse wie die eben bezeichneten gelten, nur ist in
diesem Falle der gegebene Werth h 2 negativ. —
Vom physikalischen Standpunkte aus wird Niemand
daran zweifeln, dass die genannten Probleme im Allgemeinen
eine ganz bestimmte Lösung besitzen, und wir schliessen dar
aus, dass dies auch von den mathematischen Randwerth-
aufgaben gilt, wofür natürlich nichts desto weniger ein mathe
matischer Beweis noch erbracht werden müsste. — Nur
wenn 7c 2 ein ausgezeichneter Werth des gegebenen Bereiches
ist, ergiebt eine physikalische Ueberlegung (nämlich bei den
Schwingungsproblemen die, dass die Eigenschwingungen nicht
unendlich verstärkt werden dürfen) die Nothwendigkeit einer
Bedingung für die gegebenen Randwerthe, worauf wir später
ausführlich eingehen werden.
Es braucht kaum erwähnt zu werden, dass den Randwerth
aufgaben bei eindimensionalen Gebieten die Aufgabe entspricht,
eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ord
nung für u(x) so zu integriren, dass an den Endpunkten des
Gebietes u oder ^ oder hu -}- ^ gegebene Werthe hat, so
dass sich also hier die. Aufgabe auf eine Bestimmung der
Integrationsconstanten reducirt. Bekannte physikalische Bei
spiele sind die durch periodische Bewegung der Enden er
zwungene Schwingung einer Saite und die stationäre Wärme
leitung in einem ausstrahlenden Stabe, dessen Endflächen an
ein Medium von gegebener Temperatur grenzen; das erstere ist
geeignet, um sich im einfachsten Falle die Beschränkungen
klar zu machen, welchen die Grenzbedingungen zu unterwerfen
sind, falls h 2 ein ausgezeichneter Werth ist, also die Periode