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Ueber die Gleichung: Au Je 2 u = 0.
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aufgäbe, hat die Mathematiker und Physiker bekanntlich seit
langer Zeit in hervorragendem Maasse beschäftigt. Zuerst
suchte man nur die Existenz einer solchen Lösung ganz
allgemein zu beweisen und bediente sich dabei jener Schluss
weise, welche durch Riemann die Bezeichnung „Dirichlet’sches
Princip“ erhalten hat*) und unter diesem Namen jedenfalls
in deutschen mathematischen Kreisen allgemein bekannt
ist. Der Grundgedanke des Dirichlet'schen Princips, nämlich
die Existenz einer Function daraus zu erschliessen, dass ein
gewisses Integral mit lauter positiven Elementen ein Minimum
besitzen müsse, findet sich u. a. bereits bei Green in seiner
Abhandlung „On the Attraction of Ellipsoids“**), angewendet
auf die Lösungen einer allgemeineren partiellen Differential
gleichung (für Potentiale im Raume von s Dimensionen), so
dann bei Sir W. Thomson, welcher jene Schlussweise auf
Integrale der Differentialgleichung
№)+£(-£)+£(*
dz
4:7tg
Oy V dy
sowie auf Potentiale an wendet, welche ausserhalb einer ge
schlossenen Fläche die Stetigkeitseigenschaften und auf der
selben gegebene Werthe von 4-^ besitzen sollen***).
Bekanntlich besteht das Dirichlet’sche Princip im We
sentlichen in folgender Erwägung: Die Variationsrechnung
lehrt, dass nachstehende Beziehung gilt:
*) Biemann, Bestimmung einer Function einer veränderlichen
complexen Grösse durch Grenz- und Unstetigkeitsbedingungen. Crelle’s
Journal 54, p. 111. 1857. — Biemann hat obige Bezeichnung gebraucht,
weil er das Princip in den Vorlesungen Dirichlefs kennen gelernt
hatte. Wie letzterer dasselbe angewendet hat, ist aus der Grube’scheu
Ausgabe der Vorlesungen Dirichlet’s „über die im umgekehrten Verhält
nisse des Quadrates der Entfernung wirkenden Kräfte“ (Leipzig 1876),
p. 127—129, ersichtlich.
**) Transactions of the Cambridge Phil. Soc., 1835; Green's Math.
Papers p. 192—194.
***) Cambridge and Dublin Math. Journal 1848 und Liouville’s
Journ. 1847. — Auf die erste ßandwerthaufgabe hat Thomson das
Dirichlet’sche Princip angewendet im Appendix A (p. 167 —171) der
Natural Philosophy.
