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Ueber die Gleichung Am -f 7c 2 u = 0. 
gen beweisen, durch welche ausgezeichnete Werthe von Je 2 
ausgeschlossen werden. Denn falls h 2 ein ausgezeichneter 
Werth für den betrachteten Bereich ist, d. h. ein solcher, 
für welchen es eine im ganzen Bereiche endliche und stetige, 
nicht identisch verschwindende Lösung der Differential 
gleichung giebt, die einer der Randbedingungen ü — 0 oder 
^ = 0 oder hü 4-^ = 0 genügt, so kann man zu einer 
Lösung, welche die vorgeschriebenen Randwerthe von u oder 
— oder hu 4- besitzt, noch die mit einer willkürlichen 
dn 1 dn 7 
Constante C h multiplicirte ausgezeichnete Lösung u h (bezw. 
eine Summe C h u ri , falls h 2 ein mehrfacher ausgezeichneter 
Werth ist) hinzufügen, die Lösung ist also durch jene Rand 
werthe nicht vollständig bestimmt. 
Wir wollen im Folgenden zunächst für die allgemeine 
Differentialgleichyng mit zwei unabhängigen Yariabeln von 
der Form (3) untersuchen, wann die Lösungen der Rand 
werthaufgaben eindeutig bestimmt sind, einmal, weil dabei das 
Wesentliche der Sache besser hervortritt, sodann auch, weil 
Picard und Pianchi diese Frage eingehend behandelt haben. 
Das absolute Glied a 0 in der Differentialgleichung ist 
dabei unwesentlich; denn wenn die Gleichung ohne dasselbe 
nur eine den Randbedingungen genügende Lösung besitzt, so 
gilt dies sofort auch für die Gleichung mit dem Gliede a 0 , 
indem dasselbe ja fortfällt, wenn man die Differentialgleichung 
für die Differenz zweier etwa existirender Lösungen der ur 
sprünglichen Differentialgleichung bildet. Wir wollen daher 
die von Picard in seiner ersten auf den Gegenstand bezüg 
lichen Abhandlung (Acta Math. XII) untersuchte Differen 
tialgleichung 
d_ 
dx 
,fdu 
d u 
( A 'wi+ S e,j 
) + ± 
d y 
{ B P* + A "^) + ifu = 0 
betrachten, worin A dieselbe Bedeutung hat, wie sonst lc 2 . 
Diese Gleichung (in II, § 4 mit (13) bezeichnet*)) ist der 
*) Dort ist die Function f mit A'" bezeichnet, um Verwechse 
lungen mit dem Flächenelement df zu vermeiden.