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Ueber die Gleichung: A« -(- = 0. 
bei der dritten längs der Begrenzung mit einer daselbst vor- 
gescbriebenen Function übezw. übereinstimmen sollen. — 
Um nun zu entscheiden, ob es zwei verschiedene Lösungen 
der einzelnen Randwerthaufgabe geben kann, nehme man an, 
dies sei möglich, und betrachte die Differenz der beiden voraus 
gesetzten Lösungen. Diese Differenz genügt natürlich eben 
falls der Differentialgleichung (13), ausserdem aber der Rand 
bedingung ü — 0 oder der allgemeinen (14), d. h. sie ist eine 
ausgezeichnete Lösung. Die oben gestellte Frage kommt also 
darauf zurück, ob es für den gegebenen Bereich und den 
gegebenen Werth von X ausgezeichnete Lösungen der par 
tiellen Differentialgleichung (13) giebt. Ueber diese Frage, 
welche uns schon im II. Theile (§ 4) entgegentrat, giebt die 
dort abgeleitete Gleichung 
( lß ) ff{ Ä 'ö 2 + 2B 
+ A " Xfu^dxdy 
du du 
dx 8y 
welche für irgend eine der allgemeinen Randbedingung ge 
nügende ausgezeichnete Lösung gilt (und in welcher der 
früher angewandte Index h bei u und X hier fortgelassen 
ist), uns theilweise Aufschluss, wie wir sogleich näher 
sehen werden. Zu dieser Gleichung ist noch zu bemerken, 
dass im Falle der zweiten Randbedingung einfach a = 0 
zu setzen ist, und im Falle der ersten das Randintegral 
ebenfalls fortfällt, weil dann die Function u (hier die 
Differenz der beiden hypothetischen Lösungen der ersten 
Randwerthaufgabe) an der ganzen Begrenzung verschwindet. 
Dass die Differenz u nicht von 0 verschieden sein kann, 
mithin nur eine Lösung des Problems existirt, lässt sich 
allgemein nur schliessen, wenn die Grösse a an Tceiner Stelle 
des Randes negativ und die unter dem Doppelintegral stehende 
quadratische Form von u für alle Punkte des Ge- 
x ’ dy 
bietes definit ist; denn dann sind alle Elemente der beiden 
Integrale positiv, also die Gleichung (16) unmöglich, ausser 
wenn u überall = 0 ist. Die Bedingung, dass die besagte