Lösung der Randwerthaufgaben. § 3.
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quadratische Form definit sei ; ist, da wir dies von der Form
A'£ 2 -f- 2J5|^ -j- A"'rf ausdrücklich vorausgesetzt haben,
immer erfüllt, wenn die Function f im ganzen Gebiete positiv
(oder gleich Null) und die Constante A negativ ist oder um
gekehrt. In diesem Falle ist also, wenn ausserdem a > 0
ist, die Lösung der Randwerthaufgabe, falls sie existirt,
immer eindeutig. Derselbe kommt in der Physik z. B. vor
bei dem Problem der stationären Wärmeströmung in einer
dünnen krystallinischen leitenden Platte, deren Flächen gegen
die Umgebung von der constanten Temperatur 0 (oder auch
von variabeler Temperatur, wo dann in der Differential
gleichung noch das, wie wir oben gesehen haben, für die
gegenwärtige Betrachtung irrelevante absolute Glied hinzu
träte) frei Wärme ausstrahlen, und hierbei ist es in der That,
wenigstens für die erste und dritte Randwerthaufgabe, evi
dent, dass nur eine Lösung existirt (vergl. § 1 dieses Theiles).
Sind die Functionen A' } B, A", f für die ganze Ebene
erklärt, und ist die oben genannte Bedingung in allen
Punkten derselben erfüllt, so kann man schliessen, dass die
erste und zweite Randwerthaufgabe und bei positiven Werthen
von a auch die dritte für beliebig grosse Bereiche nur je eine
einzige Lösung besitzen.
Wenn die Function If nicht überall negativ ist oder gar
in der ganzen Ebene positiv, wie im Falle der Differential
gleichung Au -f- k?u = 0 mit reellem k, so lässt sich nicht
ohne Weiteres entscheiden, ob nur eine Lösung existiren
kann. Picard*) hat für die erste Randwerthaufgabe ein
Mittel zu dieser Entscheidung angegeben, welches auf die
Differentialgleichung Au -f- A/'w = 0**) anwendbar ist oder
auch auf die allgemeinere
*) Picard, Acta mathematica XII, p. 323—338. Die Verallgemeine
rung findet sich in der schon früher erwähnten neueren Abhandlung:
Mémoire sur la théorie des équations aux dérivées partielles et la
méthode des approximations successives. Journ. de Math. (4) VI, 1890;
p. 145—210. Cap. I. Vergl. darüber weiter unten.
**) Auf die von H. A. Schwarz angestellte ausführliche Unter
suchung über die erste Randwerthaufgabe für die Lösungen dieser
Differentialgleichung kommen wir später zurück.
Dock eis, Differentialgleichung.
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