Lösung der Randwerthaufgaben. § 3. 
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— yu + d, 
welche, abgesehen von dem für die Eindeutigkeit der Rand 
werthaufgabe nicht in Betracht kommenden Gliede d, mit 
der oben angegebenen verallgemeinerten Gleichung (13') 
völlig übereinstimmt. Unter der Voraussetzung, dass ac > b 2 
und — > 0, d. h. die Form 
Y 
al 2 -f 2b%rj -f- crf -f- r£ 2 
in allen Punkten des Gebietes definit ist, ergiebt sich daher 
durch die oben entwickelte Betrachtungsweise, welche der 
jenigen von Bianchi völlig analog ist, dass die Function u 
durch ihre Randwerthe eindeutig bestimmt ist. Es reicht für 
diesen Beweis nicht aus, dass ac > b 2 , d. h. der Typus der 
Differentialgleichung der elliptische ist. Wird dies letztere allein 
vorausgesetzt, so lässt sich nur behaupten: 
Die den gewöhnlichen Stetigheitsbedingungen genügenden 
(von Bianchi regulär genannten) Lösungen einer Differential 
gleichung D{u) = yu-f-d vom elliptischen Typus sind durch 
ihre Randwerthe eindeutig bestimmt, sofern man nur Gebiete 
betrachtet, die gewisse, allgemein nicht näher angebbare Grenzen 
nicht überschreiten. 
Um dies zu beweisen, leitet Bianchi erst den Satz ab: 
Wenn die Gleichung D(u) = yu für das gegebene Gebiet 
ein reguläres Integral v zulässt, ivelches iveder im Innern, noch 
auf dem Rande verschwindet, so sind zivei Lösungen obiger 
Differentialgleichung, die auf dem Rande übereinstimmen, über 
haupt identisch. 
Ist nämlich u ein „reguläres Integral“, welches auf dem 
Rande — 0 ist, also eine ausgezeichnete Lösung des Bereiches, 
und setzt man u = U • v, so genügt U der Gleichung 
welche sich von der Differentialgleichung D(u) — 0 nur