Lösung der Randwerthaufgaben. § 4. 
Existenz dieser Functionen, die sich mathematisch wohl nur 
durch Angabe sines Verfahrens zur wirklichen Herstellung 
beweisen liesse, wiederum durch physikalische Erwägungen 
begründet werden wird. Ich werde mich dabei auf die Diffe 
rentialgleichung A» -f h 2 u = 0 beschränken, obgleich die 
Verallgemeinerung für die Gleichungen (2) bezw. (3) S. 20 
wohl kaum Schwierigkeiten bieten würde. 
Es sind bei dieser Untersuchung zwei Fälle zu unter 
scheiden, je nachdem die gegebene Constante h 2 ein 
gezeichneter Werth für den betrachteten Bereich (und die der 
gerade behandelten Randwerthaufgabe entsprechende Grenz- 
1 “ J * - r\ c n _ q _ o) ist 
oder nicht. 
Zunächst setzen wir das letztere voraus, worin dann 
von selbst enthalten ist, dass nur eine Lösung der Rand 
werthaufgabe möglich ist. 
a. W ist he in ausgezeichneter Werth. 
I. Erste Randwerthaufgabe. Die verallgemeinerte 
Green'sehe Function G x ° y ° z °, welche hier einzuführen ist, defi- 
niren wir als eine cler Differentialgleichung A u -f- h 2 u = 0 
genügende Function von x, y, z, welche an einer Stelle x 0 , y 0 , z 0 
des Gebietes unendlich gross wird wie 
cos Ter 
im Baume, wie 
— Y 0 (kr 0 ) in der Ebene, welche sonst im ganzen Gebiete ein 
deutig, endlich und stetig ist und an der ganzen Begrenzung 
den Werth. 0 hat. 
Ihre Existenz für beliebige ebene Bereiche erschliessen 
wir aus den evidenten physikalischen Thatsachen, dass eine 
Membran mit festem Rande durch eine in einem Punkte 
wirkende periodische Kraft schliesslich in erzwungene Schwin 
gungen von der Periode der Kraft versetzt wird, ebenso eine 
offene Luftplatte durch eine in einem inneren Punkte befindliche 
Schallquelle, dass ferner eine horizontal ausgespannte Mem 
bran, auf welche an einer kleinen Stelle ein Druck vertical 
nach unten wirkt, und welche ausserdem bis zum Niveau ihres