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Ueber die Gleichung: Au lc*u = 0. 
(82) 
«(*<» tfo> *ö) = — Vl, *l) — Z/2: * 2 ) • • * 
a v u(x v , y v , zf) in J J u dn ^ 0> 
uud analog für ebene Bereiche. Man sieht, dass die Function 
u in einem beliebigen Punkte x 0 , y 0 , z 0 bestimmt ist durch 
ihre Werthe an der Begrenzung des Bereiches und diejenigen in 
v festen Funkten im Innern, nämlich in den Unstetigkeits 
punkten, welche der Function 6r„ noch ausser x 0 , y 0 , z 0 bei 
gelegt worden sind. Die Coefficienten a^, mit welchen die 
Werthe von u in jenen v Punkten multiplicirt erscheinen, sind 
gemäss ihrer Berechnung aus den v Gleichungen (80) lineare 
Functionen von u x {x Q , y Q , zf), u 2 (x 0 , y 0 , z 0 ), ... u v (x 0 , y 0 , z 0 ). 
Wenn mit A 1} A 2 , ... A v neue Grössen 'bezeichnet werden, 
welche lineare Functionen der Werthe u{x x ,y x , z x )... u(x v , y v ,zf) 
sind und ausserdem die Constanten u u (x x , y x , z x ), . . . 
g>n(x v , y v ,'Z v ) (wobei g — 1, 2 ... v ist) enthalten, also hei 
Aenderung des Punktes x 0 , y 0 , z 0 Constanten sind, so erhält 
man demnach für u(x 0 , y 0 , z 0 ) die zweite Formel: 
(83) u(xq, y 0 , zf) — A x u x (x Q , y 0 , zf) -f- A 2 u 2 (x 0 , y 0 , zf) 
H h A v u v (x q , y 0 , z 0 ) — ~ J Jü do. 
Jetzt erscheint der Werth der Function u in einem beliebigen 
Punkte x 0 , y 0 , z Q des Bereiches ausgedrückt durch die Rand- 
werthe von u und durch die für denselben Funkt genommenen 
Werthe der zum gegebenen 7c 2 gehörigen Normalfunctionen. 
Es tritt daher klar hervor, dass derjenige Bestandtheil von u, 
welcher zu dem Oberflächenintegral hinzukommt und nicht 
durch dieRandwerthe ü, sondern durch die Werthe von u in 
den Polen x x , y x , z 1} ... x v , y r , z v gegeben ist, eine ausgezeich 
nete Lösung für den gegebenen Bereich ist; dass eine solche 
bei den gegebenen Randwerthen von u noch unbestimmt 
bleiben musste, war ja von vornherein bekannt. Die obige 
Bemerkung über die Beschränkung, welcher die Lage der 
Pole unterliegen muss, hat damit auch ihre Erklärung ge 
funden; wegen der physikalischen Bedeutung dieser Bedingung 
im Falle v — 2 vergleiche man S. 65 und 66. —