Full text: Über die partielle Differentialgleichung [delta] u + k 2 u = 0 und deren Auftreten in der mathematischen Physik

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Ueber die Gleichung: Au -f- k 2 u — 0. 
Es ist für diese Gebiete jedenfalls noch eine besondere 
Untersuchung nothwendig, und im Folgenden will ich nur 
das erörtern, was mir über die hier vorliegenden Verhält 
nisse ohne Weiteres angebbar zu sein scheint. — 
Zunächst ist zu sagen, dass, selbst wenn man die Exi 
stenz der Green’schen Functionen für unendlich ausgedehnte 
Gebiete als sicher annehmen könnte (— etwa auf Grund 
der Analogie mit dem Halbraum —), die Lösung der Rand 
werthaufgaben mittelst der Green’schen Functionen, falls 
k 2 > 0 ist, völlig unbestimmt würde*, denn für solche Ge 
biete ist (nach bekannten Beispielen zu schliessen) jedes 
positive k 2 ein unendlich vielfacher ausgezeichneter Werth. Man 
kann sich auch leicht überzeugen, dass der Green’sche Satz 
//( 
du" 
u -ö— 
on 
d u 
dn 
'j do — 
0 
kein bestimmtes Resultat liefert, wenn man ihn für zwei 
f cos Tcr a n cos ler b 
Particularlösungen u — , u = — ; —, unter r a , r b die 
r a r b 
Entfernungen von zwei festen Punkten verstanden, auf einen 
zum Theil unbegrenzten Raum anwendet*). Schliesst man 
nämlich, entsprechend dem in der Potentialtheorie ange 
wandten Verfahren, den Raum im Unendlichen durch eine 
Kugelfläche mit unendlich grossem Radius, so ist auf der 
letzteren 
du' du du' du' du' du' 
dn 
zu setzen, also 
du" 
U "5 
dn 
dr 
du 
U -5— 
dn 
dr„ 
dn 
dr 
dr. 
cos Ter b Jcr a sin ler a -(- cos ler a 
• b 
cos ler„ 
r a 
kr b sin ler b -f- cos ler f 
*) Die folgende Betrachtung ist ähnlich einer von H. v. Helmholtz 
in der oft erwähnten Arbeit gegebenen; ich habe die letztere hier aber 
insofern modificirt, dass die Lösungen von Au -J- lc 2 u — 0, nicht die 
noch von der Zeit abhängigen Geschwindigkeitspotentiale selbst be 
trachtet werden.
	        
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