306
Ueber die Gleichung: Au -f- k 2 u — 0.
Es ist für diese Gebiete jedenfalls noch eine besondere
Untersuchung nothwendig, und im Folgenden will ich nur
das erörtern, was mir über die hier vorliegenden Verhält
nisse ohne Weiteres angebbar zu sein scheint. —
Zunächst ist zu sagen, dass, selbst wenn man die Exi
stenz der Green’schen Functionen für unendlich ausgedehnte
Gebiete als sicher annehmen könnte (— etwa auf Grund
der Analogie mit dem Halbraum —), die Lösung der Rand
werthaufgaben mittelst der Green’schen Functionen, falls
k 2 > 0 ist, völlig unbestimmt würde*, denn für solche Ge
biete ist (nach bekannten Beispielen zu schliessen) jedes
positive k 2 ein unendlich vielfacher ausgezeichneter Werth. Man
kann sich auch leicht überzeugen, dass der Green’sche Satz
//(
du"
u -ö—
on
d u
dn
'j do —
0
kein bestimmtes Resultat liefert, wenn man ihn für zwei
f cos Tcr a n cos ler b
Particularlösungen u — , u = — ; —, unter r a , r b die
r a r b
Entfernungen von zwei festen Punkten verstanden, auf einen
zum Theil unbegrenzten Raum anwendet*). Schliesst man
nämlich, entsprechend dem in der Potentialtheorie ange
wandten Verfahren, den Raum im Unendlichen durch eine
Kugelfläche mit unendlich grossem Radius, so ist auf der
letzteren
du' du du' du' du' du'
dn
zu setzen, also
du"
U "5
dn
dr
du
U -5—
dn
dr„
dn
dr
dr.
cos Ter b Jcr a sin ler a -(- cos ler a
• b
cos ler„
r a
kr b sin ler b -f- cos ler f
*) Die folgende Betrachtung ist ähnlich einer von H. v. Helmholtz
in der oft erwähnten Arbeit gegebenen; ich habe die letztere hier aber
insofern modificirt, dass die Lösungen von Au -J- lc 2 u — 0, nicht die
noch von der Zeit abhängigen Geschwindigkeitspotentiale selbst be
trachtet werden.