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Ueber die Gleichung: Au -f- tdu — 0. 
cos fcr - s * n ^ ? verhalten, alle im Endlichen liegen, da 
man andernfalls über das Verhalten der Function u im Un 
endlichen gar nichts Allgemeines angeben kann. — Ins 
besondere ist also die Anwendung der früher zur Lösung der 
Randwerthaufgaben aufgestellten Formeln, wenn sie über 
haupt noch statthaft ist, auf solche sich in’s Unendliche 
erstreckende Räume beschränkt, deren Begrenzungsflächen 
im Endlichen geschlossen sind, wobei dann aber auch die 
oben erwähnte Unbestimmtheit der Lösung eintritt. Ferner 
gilt z. B. der für die Theorie der Luftschwingungen wichtige 
Reciprocitätssatz der Function f nur für Räume der eben 
bezeichneten Art. — Soll der Green'sche Satz für beliebige 
unendlich ausgedehnte Räume auf zwei Functionen u', u" 
anwendbar sein, so müssen u 
im Unend- 
, du" „ du' 
-ö— und u 
dr dr 
liehen von höherer als der 2 ten Ordnung unendlich klein 
werden. 
Ganz entsprechend liegen die Verhältnisse bei ebenen Be 
reichen ; die obige Entwickelung ist auf dieselben übertragbar, 
C cos Ter -J- D sin ler 
yicr 
weil sich Y 0 (Jer) im Unendlichen verhält wie 
(vergl. III, § 2). 
Für den Halbraum kann man Functionen Q- X ° y ° z ° un d 
xyz 
r;r°, welche den im Abschnitte a) dieses Paragraphen 
gegebenen Definitionen entsprechen, ohne Weiteres angeben, 
nämlich 
(1%0 V0 z q 
XIJZ 
cos lcr 0 
r n 
cos Je r 0 ' 
r/ 
|- *o Va Z< > 
' xyz 
cos kr 0 . cos ki 
+ —¡r 
wenn r 0 , r 0 ' die Abstände des Punktes x, y, 2 vom Punkte 
x o> Hoi z o un d von dessen Spiegelpunlde in Bezug auf die 
begrenzende Ebene bezeichnen*). Obwohl nun der Green’sche 
*) In der Potentialtheorie lassen sich bekanntlich in analoger 
Weise durch Einführung „sphärischer Bildpunkte“ die Green’schen 
Functionen G und T für die Kugel hersteilen; diese Uebertragung ist 
in der Theorie der Differentialgleichung Au-\-k*u=0 nicht möglich, 
da nach den Entwickelungen in III, § 2 die Inversion auf die Func 
tionen u nicht anwendbar ist.