Lösung der Randwertaufgaben. § 5. 
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deutigen, endlichen, stetigen Lösung u aus gegebenen Rand- 
werthen ü an gewendet werden, wie II. A. Schwarz in der 
schon citirten Abhandlung dargelegt hat. Zu diesem Zwecke 
muss man nur statt von der Function w 0 , die willkür 
lich war und constant = 1 gesetzt wurde, von derjenigen 
Lösung u 0 der Differentialgleichung Au = 0 ausgehen, welche 
(ausser den Stetigkeitseigenschaften) die vor geschriebenen Rand- 
werthe ü besitzt. Dass man für Bereiche der angegebenen 
Art immer eine und nur eine solche Lösung u 0 bestimmen 
kann, ist durch die in § 2 dieses Theiles erwähnten Unter 
suchungen von H. A. Schivarz und C. Reumann erwiesen. Aus 
dieser Function u 0 leitet man nun in derselben Weise, wie 
früher w 1} ...w n ... aus w 0 , nämlich mittelst der Formel (48) 
S. 163, eine unendliche Reihe von Functionen u lf u 2 , ... u n ... 
ab, welche den Differentialgleichungen 
AMi + h 2 fu 0 = 0, Au 2 + Wfu^ = 0,... Au n + h 2 fu n - X = 0,..., 
sowie den Stetigkeitsbedingungen genügen und längs des 
ganzen Randes verschwinden. Bildet man nun die unend 
liche Reihe 
M o 4~ u i ~f~ -f - ■ ■ ■ 4~ u n -f- • • • 
und bezeichnet, wenn dieselbe convergirt, ihre Summe mit 
u, so folgt aus der Bildungsweise ihrer Glieder mittelst der 
Formel (48), dass 
u — u Q = ~ j J*‘ii-Gdldri 
ist, und somit (ii — u 0 ) oder auch u selbst der Differential 
gleichung 
Au -j- h 2 f-u = 0 
genügt. Ferner besitzt u längs des Randes die vorgeschrie- 
benen Werthe ü — ü 0 , da das Doppelintegral daselbst ver 
schwindet. Demnach stellt die unendliche Reihe 
u o + % + •’• + Wn + ' * * > 
deren Glieder in der angegebenen Weise gebildet sind, sofern 
sie convergirt, die Lösung der ersten Randwerthaufgabe dar, 
und es ist dann aus dem Herstellungsverfahren selbst er 
sichtlich, dass es nur eine Lösung giebt.