324 
Ueber die Gleichung: Am -f Fm = 0. 
dehnung auf räumliche Gebiete würde unter derselben Be 
schränkung wohl nichts im Wege stehen, und vermuthlich 
wird sich auch die zweite und dritte Randwerthaufgabe auf 
analoge Weise behandeln lassen; es fehlen hierfür nur bisher 
noch die nöthigen Grundlagen in der Theorie des logarith- 
mischen Potentials. 
Im Falle eines negativen Werthes von Je 2 , den wir wieder 
= — Je' 2 setzen wollen, ist die Eindeutigkeit der ersten Rand 
werthaufgabe für beliebig grosse Bereiche von vornherein 
sicher; dementsprechend wäre zu erwarten, dass hier das 
Schwarz’sehe Lösungsverfahren um so mehr zum Ziele führen 
müsste. Allein dasselbe kann in diesem Falle nicht un 
mittelbar angewendet werden, weil es für den Convergenz- 
beweis wesentlich ist, dass die Functionen, welche die Glieder 
der unendlichen Reihe bilden, im ganzen Bereiche positiv sind, 
was sich nur bei durchaus positiven Werthen von Je 2 f(x, y) 
aus Formel (48) schliessen lässt. Eicard hat daher im Falle 
Je 2 = — Je 2 folgenden Weg eingeschlagen*): 
Man kann zunächst für hinreichend Jdeine Bereiche die 
Differentialgleichung 
Am-{- Jc' 2 f • u — 0 
durch die unendliche Reihe 
u — u 0 -f- %-)-•••-(- u n -f- • • •, 
welche nach dem Schwarz’sehen Verfahren gebildet ist, inte- 
griren. Bei der Beschränkung auf hinreichend kleine Be 
reiche ist dieselbe unbedingt convergent; folglich wird die 
unendliche Reihe 
Uq —{— Mg Mg —J- * • • 
dann erst recht convergiren. Die Summe dieser Reihe ge 
nügt nun, wie aus der Bildungsweise ihrer Glieder hervor 
geht, der partiellen Differentialgleichung Au — Jt' 2 f-u = 0 
oder Au -j- Je 2 f-u — 0. Man kann demnach zunächst für 
Differentialgleichung, welche neben Au die ersten Differentialquotienten 
von u mit beliebigen Coefficienten enthält, mittelst eines völlig ana 
logen Approxixnationsverfahrens durchgeführt. 
*) Picard, Acta Math. XII. Abschnitt 7.