Lösung der Randwerthaufgaben. § 6.
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gemeinen, d. h. wenn F nicht = Const, ist, kann man nur
die erste so behandeln —) ist dann in der S. 265 angegebenen
Weise zu zerlegen, und ihre Lösbarkeit beruht in letzter
Instanz auf dem S. 71 erwähnten Satze von Liouville über
die Entwickelbark eit einer willkürlichen Function einer Vari
abein nach Particularintegralen einer gewöhnlichen Diffe
rentialgleichung zweiter Ordnung, welche einen nach dem
Oscillationstheorem zu bestimmenden Parameter enthält, —
einem Satze, der unschwer auf die Darstellung einer will
kürlichen Function von zwei Variabein durch eine Reihe nach
Producten solcher Particularintegrale ausgedehnt werden kann,
aber noch eines völlig befriedigenden Beweises entbehrt.
Es sind bisher nur für die Fälle des Kreises und des
Kreisringes, der Ellipse und des Binggebietes zwischen zwei
confocalen Ellipsen, der Vollkugel und der Kugelschale die
Lösungen durch Reihen aufgestellt worden. — Wir wollen
an den Beispielen des Kreises resp. Kreisringsectors und
der Kugel die Anwendung der Methode und die Besonder
heiten erläutern, welche sich dabei in dem Falle darbieten,
wo das gegebene k 2 ein ausgezeichneter Werth ist.
Eine innerhalb eines Kreises vom Radius r überall end
liche und stetige Lösung von Au -f- k 2 u = 0 wird, wie wir
früher sahen, durch die Reihe
и = A 0 J 0 (kr) -f A X J X (kr) cos (cp — 9?i) + • • •
+ A n J n (kr) cos n(cp — <p n ) + • • •
dargestellt. Dieselbe geht für r — r in die Fourier 1 sehe Reihe
A 0 J 0 (kr) -f A i J l (kr) cos (cp — qpj -f • • •
-f A n J n (kr) cos n(cp — cp n ) + • • •
über, und diese muss nun mit derjenigen Fourier’schen Reihe
a 0 -j- % cos (cp — <*i) • • • + a n cos n (cp — a n ) -f • • •
übereinstimmen, in welche sich die längs der Peripherie ge
gebene Function ü entwickeln lässt*); folglich muss sein
*) Es ist dabei nur nothwendig, dass die gegebene Function ü
sieb formell in eine Fourier’scbe Reihe entwickeln lässt, d. h. dass die
Integrale, durch welche die Coefficienten a n gegeben sind, einen be-
