330 Ueber die Gleichung: Au + ti^u = 0. 
mit willkürlichen Coefficienten, wie es ja nach unseren früheren 
allgemeinen Betrachtungen sein muss. 
Wäre k 2 allgemein ein v-facher ausgezeichneter Werth, so 
müssten in der Fourier’schen Reihe für U natürlich nicht 
nur zwei, sondern v Glieder verschwinden, und ebenso viele 
Glieder in der Reihe, welche die Lösung u darstellt, würden 
unbestimmt. Wie man sieht, gelangt man bei Anwendung 
der Reihenmethode hinsichtlich des Falles, wo k 2 ein aus 
gezeichneter Werth ist, zu genau denselben Resultaten, welche 
wir bereits bei der Methode der Green’schen Functionen ge 
funden hatten. — Die eben erörterten Verhältnisse bei der 
Lösung durch Reihen hat zuerst Mathieu*) hervorgehoben; 
dass sie auch bei der dritten Randwerthaufgabe in der Po 
tentialtheorie eintreten können, wenn das h der Grenzbedin 
gung negativ ist, hat Dini bemerkt, wie schon in § 2 dieses 
Theiles (S. 266) erwähnt wurde. 
Soll die erste oder zweite Randwerthaufgabe für einen 
Kreisringsector gelöst werden, so hat man zunächst eine Reihe 
von der Form 
co 
2 (A,J,Qcr) + A-,J-,(kr)) ““ (v<p), 
0 
worin v=— } n eine ganze Zahl und y der Winkel des 
Sectors ist, anzusetzen. Je nachdem man den Factor sin vcp 
oder cos vcp wählt, verschwindet die durch diese Reihe dar 
gestellte Function n selbst oder ihre Derivirte nach der 
Normale auf den begrenzenden Radien; die Coefficienten A v , 
können dann so bestimmt werden, dass für die begren 
zenden Kreisbögen, auf denen J v (kr) und J_ v (kr) constant 
sind und die Reihe also in eiue Fourier’sche übergeht, ent- 
Constanten A n und cp n enthält; in der That hätte statt A n cos n(y— cp n ) 
ebensogut A ' cos nqp -{- sin ncp gesetzt werden können. Dasselbe 
gilt natürlich von der Fourier’schen Reihe für U. 
*) E. Mathieu: Sur la definition de la solution simple. Compt. 
Reud. LXXXV1, 2, 1878. p. 962—965.