Lösung der Randwerthaufgaben. § 6. 
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Reihe u' hat man sodann eine andere u" von der Form 
Co 
0 
hinzuzufügen, worin aber die Indices v und die Verhältnisse 
A V :A— V so zu bestimmen sind, dass alle Reihenglieder, bezw. 
ihre ersten Ableitungen nach r, auf den beiden Kreisbögen ver 
schwinden, und die Coefficienten A v selbst, sowie die Constanten 
cp v so, dass die obige Reihe oder die aus ihr durch Diffe 
rentiation nach ep abgeleitete längs der begrenzenden Radien 
mit einer gegebenen Function von r Cu" bezw. r 
einstimmt. Dass die verlangte Bestimmung von v und A V :A— V 
in u" möglich ist, folgt aus den Sätzen von Sturm (dem 
Oscillationstheorem, cf. II, § 6, a, sowie auch S. 117 —118), 
angewendet auf die Differentialgleichung (26), welcher 
A v J v (kr) -f- A— v J— v {kr) genügt. Die Ordnungszahlen v 
würden rein imaginär zu wählen sein, damit die Anwendung 
jener Sätze möglich ist, da hier — v 2 an die Stelle des k 2 
in (23'), S. 68, tritt; man erhielte also eine Entwickelung 
einer willkürlichen Function von r nach Bessel’schen Func 
tionen mit rein imaginären, durch transcendente Gleichungen 
bestimmten Ordnungszahlen v bei constantem k, im Gegensatz 
zu den nach den Wurzeln k von J n (kr) — 0 etc. fortschrei 
tenden Reihen, die wir in II, § 7 kennen lernten. Die Mög 
lichkeit dieser Entwickelung, d. h. der oben erwähnten Be 
stimmung vonAL,. und cp v in der Reihe u", folgt sodann aus dem 
zu Anfang dieses Paragraphen angeführten Satze von Liouville. 
Für bestimmte Werthe von k 2 können einzelne Glieder 
der Reihe für u auf den beiden Kreisbögen verschwinden und 
somit unbestimmte Coefficienten A v behalten; diese Glieder 
sind dann ausgezeichnete Lösungen für den betreffenden Ring- 
sector. Dagegen kann die Reihe für u" keine ausgezeich 
neten Lösungen enthalten, weil cos v(cp — 9?,.) bei imaginärem 
v nicht für zwei reelle Werthe von 9) verschwinden kann. — 
Die dritte Randwerthaufgabe lässt sich nicht durch