Vorkommen der Differentialgleichung. § 5. 
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2 m = 0. 
für correspondirende 
n genau die gleiche ist. 
Hing An -j- 7c 2 /w — 0 
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Iclies als Hülfsmittel ' 
irentialgleichung von 
lerjenigen, in welcher 
lie Untersuchung der 
von Minimalflächen- 
A. Schwarz in seiner 
¡insten Flächeninhalts 
chnung“ (Helsingfors, 
imalflächenstück unter 
>n und ihm unendlich 
irklich den kleinsten 
ist, auf beiden Seiten 
Ibe enthaltende Schaar 
truiren, dass der Ab- 
:er Flächenstücke der 
Glrösse derselben Ord 
erschwindet, 
sinem gegebenen Mini- 
e Schaar benachbarter 
ich benachbarte einen 
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¡n Function gegeben 
ich aus der Minimal 
lgleichung: 
¡t“ 0 ’ 
aten in der Ebene be- 
Id des gegebenen Mini- 
itische Abhandlungen von 
malflächenstückes stereographisch projicirt ist. Die Frage, ob 
das Minimalflächenstück wirklich ein Minimum des Flächen 
inhalts hei festgehaltener Begrenzung besitzt, ist demnach auf 
die andere zurückgeführt, ob es eine Lösung der vorstehen 
den partiellen Differentialgleichung giebt, die in dem Be 
reiche T, welcher dem gegebenen Minimalflächen stücke ent 
spricht, sich regulär verhält und nur reelle, überall (auch noch 
auf der Begrenzung) von Null verschiedene Werthe annimmt. 
Dass sich für ijj gerade die obige Differentialgleichung 
ergiebt, welche, wie wir später (in II, § 7, b) sehen werden, 
für die gewöhnlichen Kugelflächenfunctionen ersten Grades 
gilt*), hat seinen Grund darin, dass sich einerseits die Func 
tion ifj nach der Theorie der Minimalflächen in bestimmter 
Weise durch eine willkürliche Function des complexen Argu 
mentes £ -f- ir¡ und die conjugirte, oder also durch ein be 
liebiges logarithmisehes Potential in der ZH-Ebene ausdrückt, 
und dass andererseits, wie F. Klein in seiner Vorlesung 
über „Lame’sche Functionen“ (Winter 1889/90) bemerkt hat, 
der aus einem beliebigen logarithmischen Potential V ge 
bildete Ausdruck 
welchen Richtungen bedeutet, und welcher für m — 1 mit 
dem erwähnten für die Function if> identisch wird, eine Kugel 
function m ten Grades im Raume von drei Dimensionen, oder 
wenn man nach Ausführung der Differentiationen r constant 
setzt, eine Kugelflächenfunction m ten Grades darstellt**). Letz 
teres ergiebt sich auf folgende Weise. Setzt man 7c 2 = 0 oder 
*) Für die Kugelflächenfunctionen m tea Grades tritt im(m -f- 1) 
an Stelle des Coefflcienten 8. 
**) Maxwell hat gezeigt (Elektricität und Magnetismus, Uebers. v. 
Weinstein, I. p. 194—196), dass obige Formel, wenn man von dem spe- 
ciellen logarithmischen Potential V = Const. ausgeht, die allgemeinste 
rationale ganze („harmonische“) Kugelflächenfnnction liefert. 
2 M = 0. 
für correspondirende 
n genau die gleiche ist. 
mng An -j- 7c 2 /w — 0 
eorie. 
Lehes als Hülfsmittel ' 
irentialgleichung von 
lerjenigen, in welcher 
lie Untersuchung der 
von Minimalflächen- 
A. Schwarz in seiner 
¡insten Flächeninhalts 
ehnung“ (Helsingfors, 
imalflächenstück unter 
;n und ihm unendlich 
irklich den kleinsten 
ist, auf beiden Seiten 
Ibe enthaltende Schaar 
truiren, dass der Ab- 
:er Flächenstücke der 
Glrösse derselben Ord 
erschwindet. 
¡inem gegebenen Mini- 
e Schaar benachbarter 
ich benachbarte einen 
roduct einer unendlich 
¡n Function Tj> gegeben 
ich aus der Minimal 
lgleichung: 
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