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Ueber die Gleichung: Au -j- X-u = 0. 
die Coordinaten r den Bedingungen r x = r 2 — • • • = r t _i = 0, 
oder die Coordinaten g den Bedingungen 
• • -i»; ßik • • • ßnk) = 0 oder cp(q 1 ... q_ n \ ß lk ... ß nk ) = 0 
(k = 1, 2 .. . i — 1) 
unterworfen sind. ' 
(Diesen Satz kann man sich sehr gut an dem Haupt- 
axenproblem der Flächen zweiten Grades bezw. dessen Ver 
allgemeinerung veranschaulichen; die Bedingungsgleichungen 
sind daun die Gleichungen der zu deu einzelnen Hauptaxen 
senkrechten Ebenen, sofern man rechtwinklige Coordinaten 
benutzt.) 
L ist das absolute Minimum von daraus folgt für das 
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Schwingungsproblem, dass die Periode der langsamsten Normal 
schwingung durch jede zwischen den Coordinaten eingeführte 
Bedingung („Gebundenheit^ verkürzt, durch jeden Zuwachs 
der Masse (also von tf) verlängert wird. (Für die höheren 
Normalschwingungen kann man dies nicht allgemein be 
haupten.) 
Es ist nun noch der bisher ausgeschlossene Fall zu 
betrachten, wo die determinirende Gleichung B(— X) = 0 
mehrfache Wurzeln besitzt. In diesem Falle würden die 
Integrale der n Differentialgleichungen im Allgemeinen Glie 
der von der Form t m cos ]/A (t — t') enthalten, folglich wäre 
die Bewegung nicht mehr stabil. In der That glaubte daher 
Lagrange diesen Fall ausschliessen zu müssen. Es zeigt sich 
nun aber bei näherer Untersuchung, dass aus der Lösung 
alle Potenzen von t verschwinden, wenn für jede v-fache 
Wurzel Xi von B— 0 auch alle ersten, zweiten, ...(v—l) ten 
Unterdeterminanten verschwinden, also X t eine (v —■ 1)fache 
Wurzel aller ersten, eine (v — 2)fache aller zweiten, eine 
1-fache aller (v — l) t№ Unterdeterminanten ist. (Vgl. Bouth, 
1. c. Cap. VI.) Dass nun diese Bedingung in Folge der 
speciellen Natur der quadratischen Form ij> hier stets erfüllt 
ist, hat zuerst Weierstrass bewiesen in seiner Abhandlung: 
„Ueber ein die homogenen Functionen zweiten Grades