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Ueber die Gleichung: Au -|- k 2 u — 0. 
In besonderen Fällen tritt an Stelle der unendlichen Reihe 
eine Integraldarstellung, nämlich stets dann, wenn die Werthe 
l h , also auch die Normalfunctionen u h eine stetige Mannig 
faltigkeit bilden; eine solche Darstellung hat die Form 
x 
wo X', X" die äussersten von X erreichten Werthe sind. Dies 
tritt in der Regel ein für Gebiete, die sich in’s Unendliche 
erstrecken, ausserdem aber unter Umständen, z. B. wenn die 
Function A'" unendlich gross wird (K.), auch für ganz im 
Endlichen liegende Gebiete. Dass im Falle von zwei Dimen 
sionen ein Unendlichgross werden von A'", d. i. des Factors 
von u in der Differentialgleichung, dieselbe Wirkung hat, 
wie eine unendliche Ausdehnung des Bereiches, folgt aus dem 
S. 29 besprochenen Verhalten der Differentialgleichung bei 
der conformen Abbildung. Wenn die Normalfunctionen Pro 
ducte aus zwei Functionen je einer Coordinate sind, so können 
auch Reihendarstellungen in Bezug auf die eine, Integraldar 
stellungen in Bezug auf die andere unabhängige Variabele 
Vorkommen; ähnliche gemischte Darstellungen sind natürlich 
für dreidimensionale Bereiche möglich*). 
Wie wir in der Einleitung bemerkten, ist es hier nicht 
unsere Absicht, irgendwie genauer auf diese Lehre von 
den Reihenentwickelungen bezw. Integraldarstellungen einzu 
gehen. 
Die zur Coefficientenbestimmung dienende Formel (21) 
behält ihre Gültigkeit auch in dem Falle, wo u h zu einem 
mehrfachen (v-fachen) ausgezeichneten Werthe gehört, voraus 
gesetzt, dass Un einem Systeme von v zu einander orthogonalen 
(eonjugirten) bezüglichen Normalfunctionen angehört; es wurde 
in § 4 (S. 49) der Satz begründet, dass man ein solches Sy 
stem stets auf 2 -■ - fach unendlich viele Weisen her stellen kann. 
*) Die Fourier’seben Integraldarstellungen geben hierfür bereits 
verschiedenartige Beispiele. In Rayleigh's Theorie des Schalles finden 
sich keine Integraldarstellungen.