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Ueber die Gleichung: Au Jc*u = 0.
wird, nicht beide auf Nulllinien oder -Flächen (Knotenlinien
bezw. -Flächen) derselben Normalfunction liegen dürfen; es
wäre dann nämlich u x (1) : w 2 (1) = u: w. 2 (2) . Speciell darf
nicht einer der beiden Punkte ein Schnittpunkt von zwei Knoten
linien oder ein Punkt einer Schnittcurve von zwei Knoten
flächen sein, welche zwei verschiedenen Normalfunctionen an
gehören (vergl. unten). Wenn v — 1 Punkte gegeben sind,
in welchen u = 0 sein soll, so lassen sich daraus im Allge
meinen die Verhältnisse A 1 : A 2 • • • : A v berechnen, wodurch
dann u bis auf einen willkürlichen Factor, insbesondere also
das System seiner Knotenlinien oder -Flächen bekannt ist.
Hieraus folgt, dass durch v — 1 feste Punkte im All
gemeinen nur ein System von Knotenlinien bezw. Knoten-
fläehen. einer v-fachen ausgezeichneten Lösung hindurchgeht.
Speciell ergiebt sich für zweifache ausgezeichnete Lösungen
in der Ebene der Satz:
Durch jeden Punkt eines gegebenen Bereiches geht eine und
im Allgemeinen nur eine Knotenlinie hindurch; ausgenommen
sind nur gewisse, in endlicher Anzahl vorhandene Punkte, durch
welche alle überhaupt möglichen Knotenlinien hindurchgehen.
Lässt man das Verhältniss A x : A 2 sich stetig ändern,
— eine solche Aenderung kann bei einer schwingenden Mem
bran in der That mit der Zeit stattfinden, da u, und u 2 mit
periodischen Functionen der Zeit von gleicher Periode, aber
verschiedener Phase multiplicirt werden können, — so drehen
sich die Knotenlinien gleichsam um die soeben erwähnten be
sonderen, immer unverrückt bleibenden Punkte, wobei der
Drehungssinn für alle durch denselben Punkt gehenden Kno
tenlinien der gleiche, für benachbarte Knotenpunkte aber der
entgegengesetzte ist (vergl. das Beispiel des Quadrats in
§ 6). Eine in solcher Weise schwingende Membran bietet
eine Erscheinung dar, welche grosse Analogie mit fort
schreitenden Wellen besitzt.
Beispiele für die hier besprochenen Verhältnisse werden
wir beim Quadrat, gleichseitigen Dreieck und Kreis kennen
lernen.