Full text: Über die partielle Differentialgleichung [delta] u + k 2 u = 0 und deren Auftreten in der mathematischen Physik

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Ueber die Gleichung: Au Jc*u = 0. 
wird, nicht beide auf Nulllinien oder -Flächen (Knotenlinien 
bezw. -Flächen) derselben Normalfunction liegen dürfen; es 
wäre dann nämlich u x (1) : w 2 (1) = u: w. 2 (2) . Speciell darf 
nicht einer der beiden Punkte ein Schnittpunkt von zwei Knoten 
linien oder ein Punkt einer Schnittcurve von zwei Knoten 
flächen sein, welche zwei verschiedenen Normalfunctionen an 
gehören (vergl. unten). Wenn v — 1 Punkte gegeben sind, 
in welchen u = 0 sein soll, so lassen sich daraus im Allge 
meinen die Verhältnisse A 1 : A 2 • • • : A v berechnen, wodurch 
dann u bis auf einen willkürlichen Factor, insbesondere also 
das System seiner Knotenlinien oder -Flächen bekannt ist. 
Hieraus folgt, dass durch v — 1 feste Punkte im All 
gemeinen nur ein System von Knotenlinien bezw. Knoten- 
fläehen. einer v-fachen ausgezeichneten Lösung hindurchgeht. 
Speciell ergiebt sich für zweifache ausgezeichnete Lösungen 
in der Ebene der Satz: 
Durch jeden Punkt eines gegebenen Bereiches geht eine und 
im Allgemeinen nur eine Knotenlinie hindurch; ausgenommen 
sind nur gewisse, in endlicher Anzahl vorhandene Punkte, durch 
welche alle überhaupt möglichen Knotenlinien hindurchgehen. 
Lässt man das Verhältniss A x : A 2 sich stetig ändern, 
— eine solche Aenderung kann bei einer schwingenden Mem 
bran in der That mit der Zeit stattfinden, da u, und u 2 mit 
periodischen Functionen der Zeit von gleicher Periode, aber 
verschiedener Phase multiplicirt werden können, — so drehen 
sich die Knotenlinien gleichsam um die soeben erwähnten be 
sonderen, immer unverrückt bleibenden Punkte, wobei der 
Drehungssinn für alle durch denselben Punkt gehenden Kno 
tenlinien der gleiche, für benachbarte Knotenpunkte aber der 
entgegengesetzte ist (vergl. das Beispiel des Quadrats in 
§ 6). Eine in solcher Weise schwingende Membran bietet 
eine Erscheinung dar, welche grosse Analogie mit fort 
schreitenden Wellen besitzt. 
Beispiele für die hier besprochenen Verhältnisse werden 
wir beim Quadrat, gleichseitigen Dreieck und Kreis kennen 
lernen.
	        
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