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Ueber die Gleichung: Au -f- №u — 0, 
Die Form der Differentialgleichung, welche Sturm be 
trachtet, ist die schon in I. § 4 angegebene: 
es wurde dort auch erwähnt, dass sich jede beliebige lineare 
homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung auf diese 
Form bringen lässt. In Betreff der Function a n (x) setzt 
Sturm immer voraus, dass sie für alle in Betracht kommen 
den Werthe von x durchaus positiv ist, wie es auch hei allen 
bisher behandelten, von einer solchen Differentialgleichung 
abhängenden physikalischen Problemen der Fall ist (vergl. I. 
§§ 1 u. 3). In seiner ersten Abhandlung macht Sturm über 
die Function a Tteine Voraussetzung (ausser der Stetigkeit) 
und betrachtet sodann allgemein den Einfluss, welchen eine 
Aenderung von a n und a auf das Verhalten der Integrale u hat. 
Später zerlegt er a in die Summanden hPa^x) -f- a(x) und be 
trachtet in der Differentialgleichung nur k? (in seiner Be 
zeichnung r) als variabelen Parameter, wie dies ja den physika 
lischen Problemen mehr entspricht; dabei wird a keiner 
Beschränkung unterworfen, aber a t als im ganzen Gebiete 
von x positiv vorausgesetzt, ebenfalls entsprechend seiner 
physikalischen Bedeutung bei den Problemen der schwingen 
den Saiten, Stäbe oder Luftsäulen und der Wärmeleitung. 
Es soll nun im Folgenden eine Uebersicht über die wich 
tigsten Sätze gegeben werden, welche Sturm für die Integrale 
der Differentialgleichung 
bewiesen hat: 
1. Wenn u = 0 wird, kann nicht zugleich ~ — 0 sein, 
dx 
ohne dass u identisch =0 ist; folglich erleidet die Func 
tion u jedesmal, wenn sie verschwindet, einen Zeichenwechsel. 
2. Die Werthe von x, für welche ein Integral u verschwindet, 
wachsen beständig, wenn man den Werth h 0 = i— 
zunehmen lässt. Zwei beliebige Integrale derselben Diffe 
rentialgleichung (23), für welche im Allgemeinen der Werth