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Ueber die Gleichung: Au Je 2 u = 0. 
Differentialgleichung (23), (also bis auf einen constanten 
Factor die hier in Betracht kommenden Normalfunctionen 
des Gebietes ¿r 0 <a;<^ 1 ), so hat im Intervalle x Q <Cx <ix x 
(mit Ausschluss der Grenzen) u i leeine Nullstelle, u 2 eine, u 3 
zwei, . . . u n (n — 1), und die Nullstellen zweier aufeinander 
folgender Functionen Uh, u h -\-i separiren sich gegenseitig. 
7. Ein mit willkürlichen Constanten A m . . . A„ gebildetes 
lineares Aggregat der Integrale u m ... u n , 
(welche Function natürlich nicht der Differentialgleichung 
(23) genügt), besitzt im Intervall x 0 < x < x x mindestens 
m — 1 und höchstens n — 1 Nullstellen. 
aus der Differentialgleichung (23) ableitbaren Gleichung 
durch Vergleichung der Vorzeichen beider Seiten beweisen. 
Es ist dies die vielbenutzte Relation, welche, wenn u, u Nor 
malfunctionen des Gebietes x 0 ... x x sind, die „Orthogonali 
täts-Eigenschaft“ ergiebt. (Vergl. über die Stürmischen Sätze 
auch Boutli, 1. c. p. 240—43, und Bayleigh, 1. c. I p. 232—38.) 
Den Satz 6) hat Sturm zuerst durch eine sich auf das 
Erkaltungsproblem beziehende physikalische Erwägung ge 
wonnen*). Es stellt nämlich 
B m u m e * mt \-B n u n e *»* 
ein mögliches Erkaltungsgesetz für einen bei x — x 0 und 
x = X x begrenzten Stab von der inneren Leitungsfähigkeit 
a n , dem Ausstrahlungsvermögen a und der Wärmecapacität 
a x dar; für t — -f- oo reducirt sich dieser Ausdruck auf das 
erste Glied, für t = — oo auf das letzte, und hat also in 
diesen Grenzfällen m — 1 bezw. n — 1 Zeichenwechsel. Es 
ist nun physikalisch selbstverständlich, dass während der 
Erkaltung, die zur Zeit t = — oo begonnen hat, Jeeine neuen 
*) Liouville’s Journal I, p. 432 — 34.