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Ueber die Gleichung: Au -f- ¥ 2 u = 0. 
Von speciellen gelösten Fällen, bei welchen a n nicht con- 
stant ist, sei nur das Problem der freien Schwingungen eines 
hängenden Seiles, welches nur durch seine eigene Schwere ge 
spannt ist, in Erinnerung gebracht. Die Spannung a n ist dann 
n x \ 
variabel und zwar — p 0 ■—jwo p 0 die Spannung am 
oberen Ende (x = 0) bezeichnet. Dieses Problem ist mehr 
fach behandelt worden, so schon von Daniel Rernoulli\ es 
führt auf Bessel’sclie Functionen, welche bei dieser Gelegen 
heit überhaupt zujn ersten Male eingeführt worden sind*). 
I). Rechteck und Grenzfalle desselben. 
Ist die partielle Differentialgleichung 
_l_ ^ i u — o 
dx 2 ^ dyu 
für ein Rechteck von den Seiten a (parallel der X-Axe) und 
b (parallel der Y-Axe) unter der Greuzbedingung 
hü -|- = 0, 
' cn ’ 
in welcher h längs jeder Seite constant ist, zu integriren, so 
setzt man u gleich einem Producte aus einer Function X von 
x allein und einer solchen Y von y allein und erhält für 
diese Functionen die gewöhnlichen Differentialgleichungen 
i£ + vx-0, §£+r*r-o, 
worin k' 2 , k" 2 Constanten bezeichnen, deren Summe — k 2 
ist. Diese Differentialgleichungen sind von derselben Form, 
wie die im Vorhergehenden ausführlich behandelte. Die 
Normalfunctionen für das Rechteck sind also bei der all 
gemeinen Randbedingung: 
U m ,n = Sin k' m (x — X m ) • sin kfflj — y n ) , 
wobei k' m , x m und k'f, y n durch die transcendenten Gleichungen 
(24) und (25) bestimmt werden, in welchen nur die Bezeich 
nungen in leicht ersichtlicher Weise zu modificiren sind. 
Ist speciell die Randbedingung ü — 0 für alle Seiten 
: ) Daniel Bernoulli, Comm. Acad. Petrop. VI, 1732/33.