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infiniti punti C, D,.... della spirale, die vanno in un senso; e se si 
costruiscono i triangoli OEA, OFE, .... pure simili ad OAB, si 
hanno altri punti E, F, .... che procedono in senso opposto. Inoltre, 
se OA e OB sono due raggi vettori, se si segna la bissetrice del loro 
angolo, ed OH è il raggio vettore che corrisponde a questa bisse 
trice, dovranno i triangoli OAH ed OHB essere simili e quindi OH 
è media proporzionale fra OA ed OB, e si sa costrurre colla riga 
e col compasso. In tal modo si possono determinare sulla curva 
infiniti altri punti, tanto prossimi quanto si vuole. 
Continuando a chiamare 0 l’angolo fatto dalla tangente alla curva 
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col raggio vettore, si ha, nel nostro caso, tangQ — —, ossia è costante, 
ed anche 0 risulta costante. Quindi la spirale logaritmica 
taglia sotto angolo costante tutti i raggi vettori. 
19. Concoidi. — Sia nel piano una linea l. Da un punto 0 del 
piano si conduca la retta OM ad un punto qualunque M della linea 
l, e si porti sulla direzione OM un segmento MP di lunghezza 
costante. Variando M sulla linea l, il punto P descriverà una linea, 
che dicesi concoide di l, rispetto al polo 0. 
Riferita la linea l a coordinate polari, di cui 0 è il polo, sia 
r = f(a) la sua equazione. Detto r l il raggio vettore corrispondente 
al punto P, e h la lunghezza costante MP, sarà r 4 = r -f h. Deri- 
, . , dr. dr „ dr dr. 
vando si ha — = — . Ma - e ~ sono le sunnormali della linea 
l, e della sua concoide, quindi la concoide 
d’una linea ha la stessa sottonor 
male polare della linea data. 
Questa proprietà permette di trovare im 
mediatamente la tangente alla concoide 
conoscendo la tangente alla curva primi 
tiva, e dà luogo alla seguente costruzione : 
Si segni la ON i OMP, fino ad incon 
trare la normale in M alla l nel punto N. 
La retta NP è la normale cercata. 
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