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2. Il piano osculatore d’una curva è determinato, ove si conoscano 
le derivate del punto P, come mostrano le proposizioni che seguono. 
Le_ 
Teorema I. — Se il punto P ha per l = t Q derivate prima e 
seconda u = P 0 U e v==P 0 V, nè nulle nè coincidenti in di 
rezione, il piano P 0 UV è il piano osculatore alla curva. 
Invero si ha dalla formula di Taylor 
lando questa 
unto P, die 
ungente alla 
prima; e se. 
ingente è la 
ion nulle. 
elementi, 
suo punto 
rente alla 
ella linea 
ove e è un segmento che col tendere di h a zero ha per limite 
zero. Questa equipollenza dice che i segmenti P 0 P, u e v -f - e sono 
contenuti in uno stesso piano, ove per origine di questi si prenda 
sempre il punto P 0 ; e quindi il piano che contiene la derivata u, 
ossia la tangente, e il punto P contiene pure il segmento v -f- e. 
Facciasi tendere li a zero. Il segmento v-f-e ha per limite v, ed 
il suo estremo il punto V estremo di v ; quindi il piano che passa 
per la tangente e per P ha per limite il piano P 0 UV, c. v. d. 
Teorema II. — Se il punto P ha per t = t 0 derivate prima e 
seconda continue, nè nulle nè coincidenti in direzione, 
il piano osculatore è anche il limite del piano che passa 
per tre punti della curva, ove questi si avvicinino in 
definitamente a P 0 . 
un punto è 
Queste rette 
Infatti, dati a t tre valori t i t 2 1 3 , e detti P l P 2 P 3 i punti corri 
spondenti della linea, facciasi 
p.Q = ( p ‘ p ', ivi -, P ' 1 ';, sp,s = 2,», 
r a nel punto 
i punti equi- 
questo abbia 
I punti Q ed S trovansi nel piano Pj P 2 P 3 . 
Presa una origine fissa 0 e posto OP = a(t), si avrà : 
p iQ s a[t, t 2 ), PjR = a(t, t 3 ), e P,S = 2a(i t t 2 t 3 ). 
ontenuta nel 
juella che è 
Facciansi ora tendere t l t 2 1 3 a t 0 . Il punto P t ha per limite P 0 ; 
inoltre poiché lim a(i 4 t 2 ) = a'{t), e lim a[t ± t 2 1 3 ) = 4 a"(Q, si deduce