gente è secato dalla linea se p è dispari, è toccato se p 
è pari. 
Ogni piano passante perla tangente, e diverso dal 
piano osculatore, è secato dalla linea se q è dispari, è 
toccato se q è pari. 
Il piano osculatore infine è secato dalia linea se r è 
dispari, è toccato se r è pari. 
Invero, sia P 0 AB un piano passante per P 0 . Si consideri il volume 
V(£)=P 0 P.P 0 A.P 0 B; 
la derivata n a di Y(t) è 
V(*)(Ì)=u„.P 0 A.P 0 B. 
Per t = t 0 si annullano, per le ipotesi fatte, Y(£) e le successive 
derivate l a , ..., p — l a , e la derivata d’ordine p è YM(t) = %. P 0 A. 
P 0 B, la quale non è nulla se il piano P 0 AB non contiene la tangente, 
cioè il segmento e quindi Y(t) per t = t 0 cambia di segno se 
p è impari, ed in questo caso il punto P passa da una parte al 
l’altra del piano, e la linea seca il piano. Se invece p è pari, Y(t) 
conserva un segno costante nelle vicinanze di t = ¿ 0 , e il punto P 
si trova nelle vicinanze di P 0 sempre da una stessa parte del piano ; 
ossia la linea tocca il piano. 
Se il piano P 0 AB contiene la tangente, sarà Y^(t) =Up.P 0 A. 
P 0 B = 0, e saranno pure nulle alcune successive derivate, fino a 
quella d’ordine q, che sarà Y(«)(£) = u ? .P 0 A.P 0 B, e questa non sarà 
nulla se il piano P 0 AB non contiene u q , ossia è distinto dal piano 
osculatore. Se ora q è dispari, Y(t) per t=t 0 cambia segno, e la 
curva seca il piano P 0 AB; se invece q è pari, Y(t) conserva nelle 
vicinanze di t=t 0 un segno costante, e la linea tocca il piano. 
Se infine il piano P 0 AB coincide col piano osculatore, saranno 
nulle le successive derivate di Y(t) fino a quella d’ordine r, YM (t) 
= u r .P 0 A.P 0 B, la quale non è più nulla, perché u r non è nullo, 
nè giace nel piano osculatore. Quindi, se r è dispari, la curva seca 
il piano osculatore, e se r è pari, la curva lo tocca.