2. Formule. 
5. Siano le coordinate x y z d’un punto P nello spazio funzioni 
d’una variabile t. Sarà la posizione del punto P funzione di questa 
variabile; e detti i, j, k i tre segmenti di riferimento, si avrà 
OP = coi -f- ?/j + -sk 
onde derivando, 
Quindi, se u non è nullo, ossia se non sono nulle ad 
un tempo, la retta parallela ad u è la tangente alla curva. 
Se M è un punto di questa tangente, e XYZ sono le sue coordinate, 
le coordinate del segmento PM sono X — x, Y — y, Z — £ ; e se 
questo segmento è parallelo al segmento u, le loro coordinate sono 
proporzionali, ossia le equazioni: 
Z—_3 
dz 
dt 
X — x 
dx 
dt 
(1) 
sono soddisfatte dalle coordinate di tutti e soli i punti M della 
tangente; e perciò queste sono le equazioni della tangente. 
Il piano normale alla curva è il piano passante per P e normale 
al segmento u; quindi l’equazione 
PM X u — 0, 
che è soddisfatta da tutti i punti M del piano normale e solamente 
da essi, è l’equazione del piano normale, colla notazione dei seg 
menti. 
Se XYZ sono le coordinate di M, e gli assi di riferimento sono 
ortogonali, l’equazione precedente diventa