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quindi, detto u il numero che misura la lunghezza di u, si avrà 
de \ 2 2 2a 
— -f- r 2 cos 2 0 
u — 
Se r è costante, la curva sta su d’una sfera di centro 0 e di 
raggio r; i numeri 0 e qp sono le coordinate geografiche d’un punto 
della sfera; in questo caso nella espressione di u manca il primo 
dr 
termine a —7- . 
di 
9. Raccoglieremo qui alcuni risultati, già ottenuti, su limiti di segmenti, aree, 
volumi, distanze, ecc. collegati coi punti d'una curva, e da essi, con operazioni 
analitiche, dedurremo nuovi limiti che hanno una certa importanza nello studio 
delle curve. 
Sia P un punto funzione di t; indicheremo con Pj P 2 , .... le posizioni di 
questo punto corrispondenti ai valori t l t 2 ... di t; supporremo che P abbia 
derivate u, v, ... contìnue, e che segneremo con indici, ove corrispondano a 
valori di t pure segnati coll’indice; riferiremo inoltre il punto ad assi cartesiani 
ortogonali, e diremo x y z le coordinate di P ; indicheremo con accenti le 
loro derivate. I limiti che seguono sono ottenuti facendo tendere t i t 2 ... verso 
uno stesso valore t. 
Si è visto che (Gap. I, 16, e Gap. II, 3, teor. II) 
(1) 
Se indichiamo con u il numero che misura la grandezza di u, ossia, se poniamo 
u — gru — ^ x'*- -f- y'- + z'-, 
la formula (1), ove si considerino i valori assoluti di ambo i membri, diventa: 
(3) 
Si è visto che (Gap. II, 9) 
j.k k.i i.j 
(4) 
lim 
(¿ 2 — q) (t 3 ij) (t 3 t 2 ) 
1 
4