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) dalla propo- 
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piano tan 
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nte le dire- 
P; data alle 
to P' il punto 
— 119 — 
di fi e U a zero. Facciasi PA = p, PB = q, PC = p + à, PD = q -j- p". 
Il segmento PP' è una combinazione lineare di PC e PD, quindi 
la retta PP' è contenuta nel piano PCD. Si passi al limite. I punti 
G e D hanno per limiti A e B, quindi il piano PP'CD ha per limite 
il piano PAB. 
Perciò ogni retta PP' è contenuta in un piano avente per limite 
il piano fisso PAB, dunque questo è il piano tangente alla super 
ficie nel punto P. 
13. Per giudicare del modo di comportarsi della superficie ri 
spetto al piano tangente, dicansi ancora p e q le derivate di primo 
ordine del punto P, e r, s, t le sue derivate del secondo ordine, che 
supporremo anche continue. Si ha dalla formula di Taylor 
PP' = pft + qft + § [(r -f- a) 2 (s -j- (1) hk -{- (t +t)^ 2 ] , 
ove a, p, y sono segmenti aventi per limite zero. Si consideri il 
volume V = p.q.PP' formato dall’area p.q che sta nel piano tan 
gente e dal segmento PP'. Si ricava 
V = p.q.PP' = ~ [(p.q.r -(- p.q.a)h z -f 2 (p.q.s 4~ P-fi-fO hk 
+ (p-q-t 4- p-qor)fc 2 J, 
ovvero, posto 
A —p.q.r, B = p.q.s eG = p.q.t, 
e chiamando a' P' y' i volumi infinitesimi p.q.a, p.q.p e p.q.r, si ha 
v = |[(A + a') + 2 (B + P') M + (C + T) , 
la quale formula si può pure interpretare supponendo che A, B, C, 
a', p', y', Y, invece di rappresentare i volumi, rappresentino i nu 
meri che misurano questi volumi. 
Ora è noto dal calcolo (N. 133 e segg.), che se la quantità 
3 col tendere 
A = AG — B 2